"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Десятичный логарифм показывает, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить заданное положительное число. Он записывается как lg x, а равенство lg x = y означает, что 10ʸ = x. Знание свойств логарифма позволяет упрощать вычисления, находить значения по таблицам и решать уравнения. Для чисел, записанных со степенью десяти, удобно отделять характеристику логарифма от мантиссы: первая меняется при переносе запятой, а вторая сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичный логарифм числа x — показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить x; его обозначают lg x и определяют только при x > 0. Например, поскольку 10² = 100, то lg 100 = 2. Определение помогает переводить задачу о логарифме в задачу о степени.
Характеристика десятичного логарифма — целая часть его значения, когда логарифм записан как сумма целого числа и неотрицательной дробной части. Например, запись −1 + 0,37 имеет характеристику −1. Она показывает, насколько изменился логарифм из-за порядка числа, и особенно удобна при работе с таблицей.
Мантисса десятичного логарифма — его неотрицательная дробная часть в такой записи. У чисел, отличающихся друг от друга множителем 10 в целой степени, мантиссы одинаковы: например, у 2,37 и 237. Это позволяет пользоваться одной табличной величиной, меняя только характеристику.
Таблица десятичных логарифмов — таблица приближённых значений логарифмов чисел заданного диапазона. Она нужна, когда логарифм нельзя легко вычислить по известным степеням десяти. По таблице находят мантиссу, а целую часть результата определяют по записи исходного числа.
Равенство lg x = y означает ровно то же, что 10ʸ = x: логарифм отвечает на вопрос, какой показатель нужен у десятки. Поэтому аргумент x должен быть положительным, ведь любая действительная степень 10 положительна и не может дать ноль или отрицательное число. Например, lg 100 = 2, потому что 10² = 100. Эта связь также помогает проверять вычисления обратным действием.
Степени десяти дают точные значения логарифмов: lg(10ⁿ) = n. Если число представлено как a·10ⁿ, то по свойству логарифма произведения его логарифм равен lg a + lg(10ⁿ), то есть lg a + n. Например, число 237 можно записать как 2,37·10², поэтому lg 237 = lg 2,37 + 2. Так отделяются значащие цифры от порядка числа.
При умножении аргумента на 10 к нему добавляется множитель 10, а значит, к логарифму прибавляется lg 10 = 1. При делении на 10 логарифм, наоборот, уменьшается на 1. Значащие цифры при этом не меняются, поэтому мантисса остаётся прежней, а характеристика сдвигается на единицу. Например, переход от 2,37 к 23,7 увеличивает логарифм на 1.
Если число меньше 1, его логарифм отрицателен: например, 0,1 = 10⁻¹, поэтому lg 0,1 = −1. При табличной записи отрицательное значение удобно представить отрицательной целой частью и положительной дробной: например, −0,63 = −1 + 0,37. Тогда мантисса остаётся неотрицательной, как и у чисел больше 1, и таблицу можно читать тем же способом. Характеристика в такой записи обозначает целую часть разложения, а не округление числа −0,63 вниз.
Чтобы найти логарифм по таблице, число сначала приводят к виду a·10ⁿ, где 1 ≤ a < 10. По значащим цифрам числа a находят мантиссу, а показатель n учитывают отдельно как целое слагаемое. Например, для 23,7 используют 2,37 и добавляют 1 к табличному значению lg 2,37. Если точного значения для нужных цифр нет, применяют интерполяцию — оценивают промежуточное значение между соседними табличными данными.
| Ситуация | Правило | Что учитывать |
|---|---|---|
| Область определения | lg x существует при x > 0 | Ноль и отрицательные числа не подходят |
| Логарифм степени десяти | lg(10ⁿ) = n | n может быть целым, в том числе отрицательным |
| Логарифм произведения | lg(ab) = lg a + lg b | a > 0, b > 0 |
| Логарифм частного | lg(a/b) = lg a − lg b | a > 0, b > 0 |
| Логарифм числа a·10ⁿ, где 1 ≤ a < 10 | lg(a·10ⁿ) = lg a + n | Сначала находят логарифм значащей части |
| Логарифм числа меньше 1 | lg x = −m + r | Запись выбирают с неотрицательной мантиссой r |
Сначала проверьте, что аргументы логарифмов положительны, и выберите подходящую строку таблицы. Для числа с десятичной запятой отделите множитель — степень десяти — от значащей части. В последней строке m и r определяются конкретным числом, причём r неотрицательна.
Здесь удобно не обращаться к таблице: оба числа являются степенями десяти. Нужно представить каждое число в виде 10ⁿ и взять показатель степени. Так мы сразу получим точные значения логарифмов.
Ответ: 3; −2.
Сумма логарифмов может быть объединена в один логарифм произведения. После этого останется вычислить логарифм числа 10, значение которого известно. Такой приём полезен, когда произведение аргументов становится степенью десяти.
Ответ: 1.
Число 23,7 не лежит в диапазоне от 1 до 10, для которого обычно читают мантиссу по таблице. Представим его как 2,37·10, затем найдём табличное значение lg 2,37 и добавим единицу. По таблицам с четырьмя знаками после запятой lg 2,37 ≈ 0,3747; точность зависит от конкретной таблицы.
Ответ: lg 23,7 ≈ 1,3747; характеристика — 1, мантисса — 0,3747.
Записывают lg 0 или lg числа меньше нуля. Такое случается, если забыть, что логарифм ищет показатель степени 10: результатом любой действительной степени 10 будет положительное число. Перед вычислением проверьте знак аргумента; при x ≤ 0 действительный логарифм не определён.
Путают lg x с 10x или считают, что lg x = x/10. Возможно, буквы и цифру воспринимают как знак умножения или деления, хотя логарифм обозначает показатель степени. Чтобы проверить смысл, замените запись равносильной: если lg x = y, то 10ʸ должно равняться x.
При переходе от x к 10x оставляют характеристику без изменения. Причина ошибки — внимание только к одинаковым значащим цифрам, хотя множитель 10 увеличивает логарифм на 1. Сравните, например, lg 2,37 и lg 23,7: их мантиссы совпадают, а второй логарифм больше на единицу.
Для числа меньше 1 иногда записывают отрицательными и характеристику, и мантиссу. Так дробная часть перестаёт соответствовать принятой табличной записи и усложняет поиск значения. Разложите логарифм, например, как −1 + 0,37: целая часть отрицательна, мантисса неотрицательна; проверьте, что сумма даёт исходное значение логарифма.
Для работы с десятичными логарифмами нужно понимать определение логарифма, свойства степеней и запись числа как произведения значащей части на степень десяти. Эти знания объясняют, почему характеристика меняется при переносе запятой, а мантисса остаётся прежней. Логарифмы используют при вычислениях по таблицам и калькулятору, а также при решении показательных уравнений. Ещё одно применение — логарифмические шкалы, на которых большие диапазоны величин удобно представлять компактно.
Почему десятичный логарифм обозначают буквами lg?
Обозначение lg используют для логарифма по основанию 10. Основание не пишут рядом с буквами, в отличие от записи logₐ x для логарифма по произвольному основанию.
Может ли десятичный логарифм быть отрицательным?
Да. Если 0 < x < 1, то lg x < 0, потому что для получения такого числа 10 возводят в отрицательную степень. Например, lg 0,1 = −1.
Почему логарифмы чисел 2,37 и 237 имеют одинаковую мантиссу?
Число 237 получается умножением 2,37 на 100 = 10². Поэтому lg 237 = lg 2,37 + 2: добавляется целое число, а дробная часть логарифма — мантисса — остаётся той же.
Как определить характеристику логарифма числа меньше 1?
Представьте логарифм как отрицательное целое число плюс неотрицательную дробную часть. Например, lg 0,23 = lg 2,3 − 1, поэтому характеристика равна −1, а мантисса — мантиссе lg 2,3.
Зачем нужны таблицы десятичных логарифмов?
В таблицах собраны приближённые значения логарифмов чисел, поэтому с их помощью можно находить логарифм без калькулятора. По таблице определяют мантиссу, а степень десяти в записи числа учитывают отдельно.
5.4. Десятичные логарифмы
