3. Теорема Ньютона — Лейбница

Определения и обозначения

Первообразная функции f на промежутке — это функция F, производная которой равна f: F′(x) = f(x). Если F и G — первообразные одной функции, то (F − G)′ = 0, поэтому их разность постоянна. Это позволяет выбирать для вычислений любую удобную первообразную.

Определённый интеграл обозначают ∫ₐᵇ f(x) dx; его результат — число. Функция f(x) называется подынтегральной, а a и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Интеграл описывает накопленное значение функции на промежутке, например ориентированную площадь между её графиком и осью x.

Формула Ньютона — Лейбница утверждает: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), если F — первообразная f на промежутке, содержащем [a; b]. Она переводит вычисление интеграла к нахождению первообразной и её значений на концах отрезка. Именно эта формула служит основным способом вычисления определённых интегралов.

Верхний предел интегрирования может быть переменной: в записи ∫ₐˣ f(t) dt символ x задаёт конец отрезка, а t — переменную внутри интеграла. Поэтому выражение зависит от x и является функцией. При непрерывной f эта функция имеет производную f(x), что связывает интегрирование с дифференцированием.

Как это устроено

Чтобы определить интеграл, отрезок [a; b] делят на мелкие части и строят на них прямоугольники. Сумма площадей прямоугольников, взятых со знаком, приближает накопленное значение функции: высота каждого прямоугольника задаётся значением f, а ширина — длиной части. При измельчении разбиения погрешность приближения уменьшается, и если суммы стремятся к одному пределу, этот предел называют интегралом. Для интегрируемой функции результат не зависит от конкретного разбиения, потому что все допустимые разбиения при достаточно мелких частях дают сколь угодно близкие суммы.

Рассмотрим Φ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt при непрерывной f. Если увеличить верхний предел x на небольшую величину h, значение интеграла изменится на интеграл по короткому отрезку [x; x + h]. На этом отрезке непрерывная функция почти не меняется, поэтому изменение интеграла примерно равно f(x) · h. Отношение изменения Φ к h стремится к f(x), значит, Φ′(x) = f(x): накопленное значение интеграла действительно задаёт первообразную.

Пусть F — первообразная f, тогда F′ = f. Приращение F на отрезке [a; b] связано с накоплением значений её производной: оно равно интегралу от f на этом отрезке. Следовательно, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Вычитание начального значения необходимо потому, что интеграл описывает изменение между двумя концами, а не просто значение первообразной в точке b.

Все первообразные одной функции отличаются только постоянной: если взять F(x) + C, то её значения на концах будут F(b) + C и F(a) + C. В разности постоянная исчезнет: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Поэтому при вычислении определённого интеграла достаточно найти одну первообразную, а записывать семейство с +C нет необходимости.

Пределы задают направление интегрирования: переход от a к b противоположен переходу от b к a, поэтому при перестановке пределов меняется знак. Если отрезок разбит точкой c на соседние части, приращение на всём отрезке складывается из приращений на каждой части. Отсюда следуют равенства ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx и ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵦᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx. Эти свойства позволяют менять порядок пределов и разбивать вычисление на более удобные отрезки.

Обозначения и правила вычисления определённого интеграла

Сначала определите нужные пределы и проверьте, есть ли первообразная на всём рассматриваемом отрезке. Затем найдите F и подставьте верхний предел, после чего вычтите значение при нижнем пределе. Если отрезок разбит на части или пределы записаны в обратном порядке, примените соответствующее свойство со знаком.

Разбор задач

Вычислить ∫₀² 3x² dx.

1. Найдём первообразную подынтегральной функции. Поскольку производная x³ равна 3x², можно взять F(x) = x³. Это удобный выбор: дополнительная константа для определённого интеграла не нужна.

2. Применим формулу Ньютона — Лейбница: ∫₀² 3x² dx = F(2) − F(0) = 2³ − 0³ = 8. Сначала вычислили значение первообразной при верхнем пределе, затем вычли значение при нижнем.

Ответ: 8.

Вычислить ∫₀^π sin x dx и объяснить знак результата.

1. Первообразная функции sin x — F(x) = −cos x, поскольку производная −cos x равна sin x. Подставим пределы в первообразную, а не в подынтегральную функцию.

2. Получаем ∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = −cos π − (−cos 0) = 1 − (−1) = 2. На отрезке [0; π] синус неотрицателен, поэтому интеграл не может быть отрицательным: это согласуется с результатом.

Ответ: 2.

Вычислить ∫₋₁² (2x + 1) dx двумя способами: непосредственно и разбиением отрезка в точке 0.

1. Непосредственно: первообразная функции 2x + 1 — F(x) = x² + x. Тогда интеграл равен F(2) − F(−1) = (4 + 2) − (1 − 1) = 6. Нижний предел подставляется целиком, поэтому его значение вычитается со своим знаком.

2. Разобьём отрезок в точке 0. По свойству аддитивности ∫₋₁² (2x + 1) dx = ∫₋₁⁰ (2x + 1) dx + ∫₀² (2x + 1) dx. Первая часть равна F(0) − F(−1) = 0, вторая — F(2) − F(0) = 6, а сумма снова составляет 6.

Ответ: 6 обоими способами. Совпадение результатов подтверждает, что при разбиении правильно учтены порядок пределов и знаки.

Типичные ошибки

Подставлять пределы в подынтегральную функцию вместо первообразной — значит вычислять не то выражение. Такая ошибка возникает, когда запись интеграла воспринимают как просьбу подставить числа в f(x). Сначала найдите F, для которой F′ = f, и только затем вычислите F(b) − F(a); проверить себя можно дифференцированием найденной первообразной.

Приписывать +C и считать, что константа меняет результат, тоже неверно. Константа появляется при поиске всех первообразных, но одинаково прибавляется к F(a) и F(b), поэтому сокращается. Если сомневаетесь, раскройте разность: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).

Переставляя пределы без смены знака, получают интеграл противоположного направления. Обычно это происходит, когда пределы считают просто границами отрезка, забывая об их порядке. Запомните равенство ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx и проверяйте его на простом случае f(x) = 1.

Нельзя применять формулу, не проверив наличие первообразной на всём отрезке. Условия теоремы относятся ко всему промежутку, а не только к его концам; разрыв может помешать применению привычной версии формулы. Убедитесь, что функция непрерывна или выполнены необходимые условия интегрируемости и существования первообразной на рассматриваемом отрезке.

Связь с другими темами

Для понимания теоремы нужны производная и первообразная: без умения находить производные нельзя проверить F′ = f, а без таблицы первообразных трудно вычислять интегралы. Формула Ньютона — Лейбница связывает дифференциальное и интегральное исчисление, превращая накопление значений функции в приращение первообразной. Поэтому определённые интегралы применяют при вычислении площадей, перемещений и других величин. Дальше важно изучать интеграл как предел интегральных сумм и использовать его свойства.

Что запомнить

• Если F′(x) = f(x) на отрезке [a; b], то ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
• Для вычисления интеграла достаточно любой одной первообразной подынтегральной функции.
• Постоянная интегрирования не влияет на значение определённого интеграла.
• При перестановке пределов интегрирования меняется знак.
• Интеграл по отрезку, составленному из соседних частей, равен сумме интегралов по этим частям.