4. Физические и геометрические задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Определения и обозначения

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. Её нижняя граница лежит на оси, а верхняя повторяет график функции. Понятие помогает описать площадь под графиком на заданном отрезке, даже если верхняя граница не является прямой.

Определённый интеграл — предел интегральных сумм, составленных из вкладов функции на малых частях отрезка. В записи ∫ₐᵇ f(x) dx буква x обозначает переменную, а a и b — начало и конец промежутка. Интеграл нужен, когда величину можно представить как накопление множества малых вкладов.

Работа переменной силы — работа силы, величина которой зависит от положения тела. На малом перемещении Δx силу можно считать почти постоянной, поэтому работу приближённо находят как F(x)Δx. Это позволяет складывать работу на отдельных участках и затем получать точное значение интегрированием.

Путь при переменной скорости — длина траектории, пройденная телом за промежуток времени, когда скорость меняется. За короткое время Δt скорость почти постоянна, поэтому перемещение приближённо равно v(t)Δt. Суммирование таких вкладов нужно, чтобы найти путь за весь промежуток.

Как это устроено

Пусть величина меняется на отрезке [a, b]. Разобьём его на небольшие части длиной Δxᵢ и выберем в каждой точку xᵢ. Если части достаточно короткие, функция на одной части меняется мало и её можно приближённо заменить постоянным значением f(xᵢ). Тогда вклад этой части в общую величину выражается произведением f(xᵢ)Δxᵢ.

Чтобы получить приближение для всего отрезка, вклады всех частей складывают: Σ f(xᵢ)Δxᵢ. Это интегральная сумма, и при конечном разбиении она обычно не совпадает с точным результатом. Чем мельче части, тем меньше ошибка замены функции постоянным значением на каждой из них. Предел сумм при измельчении разбиения и есть определённый интеграл.

Для площади под графиком неотрицательной функции каждая узкая часть фигуры похожа на прямоугольник с высотой f(xᵢ) и шириной Δxᵢ. Его площадь приближённо равна f(xᵢ)Δxᵢ, поэтому сумма площадей прямоугольников приближает площадь криволинейной трапеции. Когда ширина прямоугольников стремится к нулю, приближение становится точным, и площадь равна ∫ₐᵇ f(x) dx.

При движении под действием переменной силы на малом участке пути сила меняется незначительно. Поэтому работу на участке Δx приближённо считают равной F(x)Δx, а работу на всём пути — суммой таких произведений. Переход к пределу даёт A = ∫ₐᵇ F(x) dx: здесь интегрируют по координате, потому что сила зависит от положения.

При движении с переменной скоростью за короткий промежуток времени Δt скорость почти не успевает измениться. Перемещение на этом промежутке приближённо равно v(t)Δt, и сумма таких произведений описывает движение за весь промежуток. В пределе получаем ∫ₜ₁ᵗ₂ v(t) dt; если скорость неотрицательна, тело движется в одном направлении и интеграл равен пройденному пути.

Физические и геометрические величины как интегралы

Сначала определите, какой малый вклад складывается в задаче, затем составьте сумму этих вкладов. В последнем столбце записана точная величина, полученная переходом к пределу. Для работы и пути строят аналогичные суммы, заменяя ширину участка на малое перемещение или малый промежуток времени.

Разбор задач

Площадь под графиком y = x на отрезке [0, 2]

Нужно найти площадь фигуры между графиком, осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2. Функция y = x неотрицательна на всём отрезке, поэтому площадь равна определённому интегралу. Интеграл удобно вычислить по формуле Ньютона—Лейбница.

1. Записываем площадь как интеграл: S = ∫₀² x dx.
2. Первообразная функции x — x²/2, поэтому S = [x²/2]₀².
3. Подставляем верхний и нижний пределы: S = 2²/2 − 0²/2 = 2.

Ответ: 2 квадратные единицы.

Работа растяжения пружины

Сила на участке от 0 до 0,1 м задана формулой F(x) = 20x Н. Она не постоянна: при растяжении пружины сила увеличивается, поэтому умножать одно её значение на весь путь нельзя. Каждый малый вклад работы равен приблизительно F(x)Δx, а точная работа находится интегрированием по координате.

1. Записываем работу: A = ∫₀⁰·¹ 20x dx.
2. Первообразная функции 20x — 10x².
3. Вычисляем: A = [10x²]₀⁰·¹ = 10 · 0,01 − 0 = 0,1 Дж.

Ответ: 0,1 Дж.

Путь при переменной скорости

Скорость тела на промежутке от 0 до 4 с равна v(t) = 3t² м/с. Она зависит от времени, поэтому путь складывается из перемещений за короткие промежутки времени. На всём данном промежутке скорость неотрицательна, значит интеграл скорости даст именно пройденный путь.

1. Записываем путь как интеграл: s = ∫₀⁴ 3t² dt.
2. Первообразная функции 3t² — t³.
3. Подставляем пределы: s = [t³]₀⁴ = 4³ − 0³ = 64 м.

Ответ: 64 м.

Типичные ошибки

Иногда интеграл считают площадью при любых значениях функции. Это неверно: если график опускается ниже оси Ox, соответствующие части интеграла учитываются со знаком минус. Ошибка возникает из-за смешения интегрального значения и геометрической площади; проверьте, не меняет ли функция знак на промежутке.

Подстановка одного произвольно выбранного значения силы или скорости вместо переменной функции даёт только приближение. Так поступают, когда забывают, что величина меняется по ходу движения. Проверка проста: сравните выбранное значение с функцией на всём отрезке и выясните, действительно ли она постоянна.

Можно перепутать переменную интегрирования: в формуле работы сила суммируется по координате, а при движении скорость — по времени. Причина обычно в том, что обе задачи описывают движение, хотя малые вклады в них имеют разный смысл. Проверьте единицы: для работы используется сила и перемещение, для пути — скорость и время.

Интегральную сумму иногда принимают за точное значение ещё до перехода к пределу. Но при конечном числе частей функция заменена приближённо, поэтому сумма может отличаться от искомой величины. Чтобы проверить рассуждение, укажите, что точный результат получается лишь при измельчении разбиения и переходе к пределу.

Связь с другими темами

Для понимания интегральных сумм нужны площадь прямоугольника, понятие предела и смысл приращения аргумента. Эти знания объясняют, откуда берутся малые вклады и почему их сумма стремится к точному значению. Чтобы вычислять интегралы на практике, нужно уметь находить первообразную и применять формулу Ньютона—Лейбница.

Идея суммирования малых вкладов используется не только для площади, работы и пути. С её помощью находят объёмы и другие величины, которые накапливаются постепенно. Поэтому умение выбрать вклад, переменную и пределы помогает переводить задачи из разных областей на язык интегралов.

Что запомнить

• Определённый интеграл возникает как предел интегральных сумм.
• Площадь под графиком неотрицательной функции на отрезке равна интегралу этой функции.
• Работу переменной силы вдоль прямолинейного пути находят интегрированием силы по координате.
• Путь при неотрицательной переменной скорости равен интегралу скорости по времени.
• В интеграле важно указать переменную и пределы интегрирования.
• Интеграл функции, меняющей знак, является величиной с учётом знака, а не общей геометрической площадью.