§ 2. Правила нахождения первообразных

Определения и обозначения

Первообразная функции f на промежутке — функция F, производная которой равна f: F′(x) = f(x). Иными словами, если дифференцирование F возвращает исходную функцию, то F является её первообразной. Это определение задаёт цель интегрирования: найти функцию, из которой могла получиться данная производная.

Неопределённый интеграл — запись множества всех первообразных функции f: ∫f(x)dx = F(x) + C. Символ dx указывает, по какой переменной интегрируют, а запись охватывает целое семейство функций. Она нужна, чтобы выразить общий результат нахождения первообразной, а не одну выбранную функцию.

Постоянная интегрирования — произвольное число C, которое прибавляют к первообразной. Любые две первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную, потому что их разность имеет нулевую производную. Поэтому C позволяет записать все возможные ответы одной формулой.

Правила нахождения первообразных — способы находить первообразные суммы функций и произведения функции на постоянное число. Они позволяют разложить сложное выражение на более простые части и применить известные формулы к каждой из них. Благодаря этим правилам таблицу первообразных можно использовать для выражений, составленных из знакомых функций.

Как это устроено

Нахождение первообразной обращает дифференцирование: требуется подобрать F так, чтобы F′(x) = f(x). При дифференцировании мы узнаём скорость изменения функции, а при интегрировании восстанавливаем саму функцию по этой скорости. Например, поскольку производная x² равна 2x, функция x² служит первообразной для 2x. Такой обратный поиск обычно опирается на известные производные.

К найденной первообразной прибавляют C, потому что производная не замечает постоянного слагаемого. Для любого числа C выполняется (F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f(x). Более того, если две функции имеют одинаковые производные на промежутке, производная их разности равна нулю, а значит, разность постоянна. Поэтому запись F + C описывает не случайную добавку, а все варианты ответа.

Правила интегрирования следуют из правил дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных, поэтому первообразную суммы можно получить, сложив первообразные слагаемых. Если умножить функцию на постоянное число k, её производная также умножится на k; при обратном действии этот множитель выносят: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx. В результате интеграл суммы разбивают на отдельные интегралы, не меняя коэффициенты произвольно.

Таблицу первообразных применяют сопоставлением: сначала узнают знакомую функцию в подынтегральном выражении, затем выбирают соответствующую формулу. После этого записывают найденную функцию и добавляют C. Если выражение является суммой или содержит постоянные множители, сначала используют линейность, а затем обращаются к таблице. Указанные формулы действуют на промежутках, где функции и выражения определены.

Степенная формула получается из правила (xⁿ⁺¹)′ = (n + 1)xⁿ. Чтобы при дифференцировании получить xⁿ, нужно разделить xⁿ⁺¹ на n + 1, откуда ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C. Это рассуждение возможно, только если n + 1 не равно нулю. При n = −1 функция становится 1/x, а вместо степенной формулы используют ln|x|, производная которого равна 1/x при x ≠ 0.

Таблица основных первообразных и правил интегрирования

Сначала преобразуйте выражение, если нужно разделить сумму или вынести постоянный множитель, затем подберите формулу для каждого слагаемого. В каждой строке, где записана первообразная, учитывайте произвольную постоянную; для суммы отдельных результатов её можно объединить в одно C. Перед применением степенной формулы проверьте, что показатель не равен −1.

Разбор задач

Задача 1. Найти все первообразные функции f(x) = 4x³. Здесь дано степенное выражение, поэтому удобно применить формулу для xⁿ и сохранить коэффициент 4. После интегрирования обязательно запишем семейство ответов.

1. Используем формулу ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C при n ≠ −1; здесь n = 3.
2. Выносим множитель: ∫4x³dx = 4∫x³dx = 4 · x⁴/4 + C.
3. Сокращаем коэффициенты: F(x) = x⁴ + C.

Ответ: все первообразные имеют вид F(x) = x⁴ + C, где C — любое число. Проверка показывает, что (x⁴ + C)′ = 4x³, как и требуется.

Задача 2. Найти все первообразные функции f(x) = 3cos x − 2eˣ. Выражение состоит из двух слагаемых с постоянными множителями, поэтому применим линейность интеграла. Знаки и коэффициенты оставляем при своих слагаемых, а для косинуса и экспоненты используем табличные формулы.

1. Разделяем интеграл: ∫(3cos x − 2eˣ)dx = 3∫cos x dx − 2∫eˣdx.
2. Подставляем формулы: ∫cos x dx = sin x, а ∫eˣdx = eˣ.
3. Записываем результат и объединяем постоянные интегрирования: F(x) = 3sin x − 2eˣ + C.

Ответ: F(x) = 3sin x − 2eˣ + C. При проверке производная первого слагаемого равна 3cos x, второго — −2eˣ, поэтому получается исходная функция.

Задача 3. Найти первообразную функции f(x) = 2x³ + 1/x − 5sin x и проверить результат дифференцированием. В сумме встречаются степенная функция, 1/x и синус, поэтому для них нужны разные табличные формулы. Область определения исходной функции не включает x = 0, так что рассматриваем промежуток, не пересекающий ноль.

1. Разбиваем сумму и выносим коэффициент: ∫f(x)dx = 2∫x³dx + ∫(1/x)dx − 5∫sin x dx.
2. Интегрируем слагаемые: 2∫x³dx = x⁴/2, ∫(1/x)dx = ln|x|, а −5∫sin x dx = 5cos x.
3. Складываем результаты: F(x) = x⁴/2 + ln|x| + 5cos x + C.
4. Проверяем: F′(x) = 2x³ + 1/x − 5sin x, поскольку (ln|x|)′ = 1/x, а (5cos x)′ = −5sin x.

Ответ: F(x) = x⁴/2 + ln|x| + 5cos x + C на любом промежутке, не содержащем ноль. Производная результата совпадает с подынтегральной функцией, значит, проверка пройдена.

Типичные ошибки

Если не записать C, получится только одна первообразная, хотя задача обычно требует найти их все. Такую ошибку допускают, сосредоточившись на вычислении табличной формулы и забыв о семействе ответов. Проверьте запись в конце: у неопределённого интеграла должна стоять произвольная постоянная, которую можно обозначить любой буквой.

При интегрировании синуса и косинуса легко перепутать знак: ∫sin x dx = −cos x + C, а ∫cos x dx = sin x + C. Ошибка возникает потому, что эти формулы отличаются, а производная косинуса содержит минус. Дифференцируйте полученный ответ: если знак не совпал с исходной функцией, исправьте результат.

Нельзя подставлять показатель −1 в формулу для ∫xⁿdx. Тогда знаменатель n + 1 обращается в ноль, поэтому для 1/x действует отдельная формула ∫(1/x)dx = ln|x| + C. Ошибку предотвращает проверка условия n ≠ −1 и области определения: x не должен равняться нулю.

При вынесении коэффициента или разбиении суммы иногда меняют множитель либо знак без основания. Причина обычно в том, что правило интегрирования применяют не так, как линейность производной. Сверьте преобразование с равенствами ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx и ∫(f + g)dx = ∫f dx + ∫g dx, а затем проверьте ответ производной.

Связь с другими темами

Для нахождения первообразных нужны знания о производной, в частности правилах дифференцирования суммы и произведения функции на постоянное число. Таблица производных помогает распознавать функции, которые могли дать исходное выражение после дифференцирования. Проверка первообразной тоже напрямую опирается на дифференцирование: найденную функцию дифференцируют и сравнивают результат с подынтегральной функцией.

Правила нахождения первообразных служат подготовкой к вычислению определённых интегралов. Первообразная позволяет переходить от подынтегральной функции к значениям функции на границах отрезка. Интегралы затем применяют в задачах, где требуется вычислить накопленную величину или площадь.

Что запомнить

• F — первообразная f, если F′(x) = f(x).
• Все первообразные одной функции отличаются на постоянную.
• В неопределённом интеграле обязательно указывают + C.
• Интеграл суммы равен сумме интегралов.
• Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
• Для степенной формулы показатель не должен быть равен −1.
• Правильность первообразной можно проверить дифференцированием.