Правила нахождения первообразных

Определения и обозначения

Первообразная функции f — функция F, производная которой на рассматриваемом промежутке равна f: F′(x) = f(x). Иными словами, производная F должна восстановить заданную функцию. Это определение помогает понять, какой результат мы ищем и как его проверить.

Неопределённый интеграл — запись семейства всех первообразных функции f: ∫f(x)dx = F(x) + C. Знак ∫ называют знаком интеграла, а dx указывает, по какой переменной ищут первообразную. Такая запись удобна, когда нужно указать не одну функцию, а все подходящие варианты.

Постоянная интегрирования — произвольное число C, которое добавляют к первообразной. Оно нужно потому, что производная постоянного слагаемого равна нулю и потому не влияет на результат дифференцирования. Поэтому функции, отличающиеся только постоянной, имеют одну и ту же производную.

Линейность нахождения первообразных — правило, позволяющее выносить постоянный множитель и находить первообразную суммы или разности по отдельным слагаемым. Например, коэффициент перед функцией сохраняют, а каждую часть выражения обрабатывают по своей формуле. Это превращает сложное выражение в несколько знакомых задач.

Как это устроено

Нахождение первообразной — действие, обратное дифференцированию. При дифференцировании из функции получают её производную, а здесь по производной восстанавливают функцию. Для этого подбирают выражение из известных формул и проверяют, что его производная совпадает с заданной функцией.

Если F — первообразная f, то производная F + C равна F′ + 0, то есть f. Именно поэтому к ответу прибавляют произвольную постоянную. Более того, на одном промежутке любые две первообразные одной функции отличаются на константу: их производные равны, а значит, разность этих функций имеет нулевую производную и является постоянной.

Линейность следует из правил дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно вынести за знак производной. Поэтому, если исходная функция состоит из нескольких слагаемых, достаточно отдельно подобрать первообразную каждому и сохранить коэффициенты. После этого результаты складывают, а в конце записывают одну общую C.

Табличные формулы первообразных получают, обращая известные формулы производных. Например, производная xⁿ⁺¹/(n + 1) равна xⁿ, если n + 1 не равно нулю. При n = −1 такой способ приводит к делению на ноль, поэтому функцию 1/x рассматривают отдельно: производная ln|x| равна 1/x при x ≠ 0.

Проверка дифференцированием нужна потому, что при вычислениях легко ошибиться в коэффициенте или знаке. Берут производную всего найденного выражения, включая тригонометрические слагаемые, и сравнивают её с исходной функцией. Постоянная C при проверке исчезает, так как её производная равна нулю.

Основные формулы нахождения первообразных

В правый столбец таблицы записаны первообразные без постоянной C: при использовании любой строки её нужно добавить к результату. Сначала убедитесь, что условие применимости формулы выполнено на нужном промежутке. Если функция состоит из нескольких частей, применяйте подходящую строку к каждой части с учётом её коэффициента.

Разбор задач

Задача 1. Найти все первообразные функции f(x) = 6x². Здесь дана степенная функция с постоянным множителем, поэтому сначала удобно отделить число 6. Затем применим формулу для xⁿ при n = 2 и не забудем указать семейство ответов.

1. Выносим множитель: ∫6x²dx = 6∫x²dx.
2. По формуле ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C получаем ∫x²dx = x³/3 + C.
3. Умножаем результат на 6 и записываем произвольную постоянную: 6 · x³/3 + C = 2x³ + C.

Ответ: F(x) = 2x³ + C. Проверка: (2x³ + C)′ = 6x², что совпадает с исходной функцией. Значит, найдено всё семейство первообразных.

Задача 2. Найти все первообразные функции f(x) = 3x² − 4cos x. Выражение является разностью двух слагаемых, поэтому воспользуемся линейностью. При этом коэффициенты 3 и −4 сохраняются, а для каждого слагаемого выбирается своя строка таблицы.

1. Разбиваем интеграл: ∫(3x² − 4cos x)dx = 3∫x²dx − 4∫cos x dx.
2. Используем формулы: ∫x²dx = x³/3, а ∫cos x dx = sin x.
3. Собираем слагаемые и добавляем одну постоянную: 3 · x³/3 − 4sin x + C = x³ − 4sin x + C.

Ответ: F(x) = x³ − 4sin x + C. Проверим: F′(x) = 3x² − 4cos x. Знак перед косинусом сохранился, значит производная точно совпадает с заданной функцией.

Задача 3. Найти все первообразные функции f(x) = 2x³ + 5/x − 3sin x + 4/cos² x на промежутке, где cos x ≠ 0 и x ≠ 0. Здесь встречаются степенная функция, 1/x и две тригонометрические формулы. Разобьём выражение на части, отдельно обработаем каждую и внимательно сохраним знаки.

1. Записываем сумму интегралов: ∫2x³dx + 5∫(1/x)dx − 3∫sin x dx + 4∫(1/cos² x)dx.
2. Применяем таблицу: ∫x³dx = x⁴/4, ∫(1/x)dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x, ∫(1/cos² x)dx = tg x.
3. Учитываем коэффициенты и знаки: 2 · x⁴/4 + 5ln|x| − 3(−cos x) + 4tg x + C.
4. Упрощаем: x⁴/2 + 5ln|x| + 3cos x + 4tg x + C.

Ответ: F(x) = x⁴/2 + 5ln|x| + 3cos x + 4tg x + C. При дифференцировании получаем 2x³ + 5/x − 3sin x + 4/cos² x. Условия задачи обеспечивают, что все выражения определены на рассматриваемом промежутке.

Типичные ошибки

Забывают прибавить C и указывают только одну первообразную, например 2x³ вместо 2x³ + C. Так происходит, если помнить саму формулу, но не учитывать, что постоянное слагаемое исчезает при дифференцировании. После решения проверьте, записано ли + C: без него семейство ответов неполное.

Применяют степенную формулу xⁿ⁺¹/(n + 1) при n = −1. В этом случае знаменатель обращается в ноль, поэтому нужно воспользоваться отдельной формулой для 1/x: ln|x|. Перед применением степенной формулы найдите показатель степени и убедитесь, что он не равен −1.

Теряют знак при нахождении первообразной sin x или 1/sin² x. Это происходит потому, что соответствующие формулы содержат минус: первообразные равны −cos x и −ctg x. Проверьте знак производной: (−cos x)′ = sin x, а (−ctg x)′ = 1/sin² x.

Неверно выносят коэффициент или не учитывают его при интегрировании суммы. Например, первообразная 3x² равна 3 · x³/3 = x³, а не x³/3; при нескольких слагаемых ошибка может затронуть только один коэффициент. Сверьте каждый результат дифференцированием и проверьте, восстановились ли исходные множители.

Связь с другими темами

Для нахождения первообразных нужны формулы производных степенной, показательной и тригонометрических функций, а также правила дифференцирования суммы и произведения на постоянное число. Эти знания позволяют обращать дифференцирование и проверять результат. Позже первообразные используют при вычислении определённых интегралов и площадей фигур. Поэтому умение находить их становится основой для дальнейших тем анализа.

Что запомнить

• Первообразная F функции f удовлетворяет равенству F′(x) = f(x).
• Все первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную.
• В записи неопределённого интеграла обязательно указывают + C.
• Первообразную суммы находят по слагаемым.
• Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
• Формула для xⁿ применима при n ≠ −1.
• Найденный результат проверяют дифференцированием.