"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Криволинейная трапеция — фигура под графиком непрерывной неотрицательной функции, ограниченная также осью Ox и двумя вертикальными прямыми. Её площадь можно приближать суммами площадей прямоугольников, а предел таких сумм называют определённым интегралом. Если известна первообразная функции, интеграл вычисляют по формуле Ньютона — Лейбница. Когда функция опускается ниже оси Ox, интеграл учитывает знак, поэтому может не совпадать с геометрической площадью.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. График служит верхней границей фигуры, ось Ox — нижней, а вертикальные прямые замыкают её слева и справа. Например, при a < b область рассматривают только между этими двумя значениями x. Такое описание точно указывает, какую часть плоскости нужно измерить.
Площадь криволинейной трапеции — число, которое получают как предел сумм площадей прямоугольников, приближающих фигуру. Поскольку граница сверху обычно не прямая, фигуру нельзя сразу считать обычным прямоугольником или треугольником. Прямоугольники позволяют заменить сложную границу простыми участками и получить приближение. Переход к пределу убирает ошибку приближения.
Определённый интеграл функции f на отрезке [a; b] — число, равное пределу интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения отрезка. Его записывают как ∫ₐᵇ f(x) dx; числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования. Интеграл обобщает способ подсчёта площади, но может описывать и величину со знаком. Поэтому важно учитывать расположение графика относительно оси Ox.
Первообразная функции f — функция F, производная которой на рассматриваемом промежутке равна f: F′(x) = f(x). Если первообразная найдена, интеграл не требуется вычислять через приближающие прямоугольники: его значение можно получить по формуле Ньютона — Лейбница. Для этого находят разность F(b) − F(a). Так связь производной и первообразной превращает задачу о пределе сумм в вычисление значений функции.
Сначала отрезок [a; b] делят на несколько частей и на каждой выбирают высоту прямоугольника, ориентируясь на значения f(x). Ширина прямоугольника равна длине соответствующей части, поэтому его площадь — произведение ширины на высоту. Складывая эти произведения, получают приближённую площадь всей фигуры. Причина такого подхода в том, что узкая полоска под графиком похожа на прямоугольник, даже если сам график искривлён.
Затем разбиение делают всё мельче, то есть увеличивают число частей и уменьшают их ширину. На коротком промежутке значения непрерывной функции близки друг к другу, поэтому прямоугольники точнее повторяют очертание фигуры. Сумма их площадей меняется и при неограниченном измельчении стремится к определённому числу. Именно этот предел называют определённым интегралом: он не зависит от грубого приближения отдельным конечным набором прямоугольников.
Если f(x) ≥ 0 на всём отрезке, график не опускается ниже оси Ox, и все прямоугольники дают неотрицательные вклады. Поэтому предел их сумм совпадает с геометрической площадью криволинейной трапеции. Например, для графика y = x² на [0; 2] область заключена между параболой, осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2. Её площадь равна ∫₀² x² dx.
Если F — первообразная f, то работает формула Ньютона — Лейбница: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Разность значений возникает потому, что накопленное изменение первообразной от a до b соответствует интегралу производной F′(x) = f(x). Если функция меняет знак, интеграл сохраняет знаковые вклады: часть над осью Ox прибавляется, часть под ней вычитается. Чтобы найти геометрическую площадь, а не их разность, нужно разделить отрезок в точках смены знака и сложить площади частей без знаков.
| Ситуация | Как записать интеграл | Что означает |
|---|---|---|
| f(x) ≥ 0 на [a; b] | ∫ₐᵇ f(x) dx | Площадь криволинейной трапеции |
| f(x) ≤ 0 на [a; b] | ∫ₐᵇ f(x) dx | Отрицательная величина, противоположная площади фигуры |
| Функция меняет знак на [a; b] | ∫ₐᵇ f(x) dx | Разность площадей частей над и под осью Ox |
| Найдена первообразная F | F(b) − F(a) | Значение интеграла по формуле Ньютона — Лейбница |
Сначала определите, где расположен график на данном отрезке: от этого зависит, можно ли читать интеграл прямо как площадь. Если функция меняет знак, не принимайте интеграл за полную геометрическую площадь. Последняя строка таблицы показывает вычислительный способ, который применяют после нахождения первообразной.
Задача 1. Найти площадь фигуры под графиком y = 2 на отрезке [0; 3]. Функция постоянна и положительна, значит фигура — прямоугольник с высотой 2 и основанием 3. Можно также записать её площадь как интеграл функции 2. Сопоставим геометрический и интегральный способы.
Ответ: 6 квадратных единиц. Здесь интеграл равен площади, потому что функция положительна на всём отрезке. Вычисление прямоугольника помогает проверить результат интегрирования.
Задача 2. Найти площадь криволинейной трапеции под графиком y = x² на [0; 2]. На этом отрезке x² ≥ 0, поэтому площадь равна определённому интегралу. Чтобы вычислить его, найдём первообразную функции и применим формулу Ньютона — Лейбница. Такой способ удобнее, чем складывать множество прямоугольников.
Ответ: 8/3 квадратной единицы. График не опускается ниже оси Ox, поэтому вычисленный интеграл не требует исправления знака. Результат можно представить как 2⅔ квадратной единицы.
Задача 3. Вычислить ∫₋₁¹ x dx и найти геометрическую площадь между графиком y = x и осью Ox на этом отрезке. Функция меняет знак при x = 0: слева график ниже оси, справа выше. Поэтому нужно отдельно выяснить значение интеграла и сумму площадей обеих частей. Это позволит увидеть, почему эти величины различаются.
Ответ: ∫₋₁¹ x dx = 0, геометрическая площадь равна 1. Нулевой интеграл не означает, что фигуры нет: площади по разные стороны от оси равны. Для площади обе части считают положительными величинами.
Ошибка — считать, что интеграл всегда равен геометрической площади. Её допускают, когда переносят правило для f(x) ≥ 0 на любой график и не замечают участки ниже оси Ox. Проверьте знак функции на всём отрезке, а при смене знака разделите его на части. Геометрическая площадь складывает площади частей, тогда как интеграл вычитает вклад расположенных под осью участков.
В формуле Ньютона — Лейбница иногда записывают F(a) − F(b), меняя порядок пределов. Причина ошибки — забытая роль верхнего и нижнего пределов или механическая подстановка чисел. Проверка проста: порядок должен быть F(b) − F(a), а при перестановке пределов знак интеграла меняется. Для постоянной положительной функции на отрезке результат также должен быть положительным.
Можно подставить в первообразную только верхний предел или только нижний, хотя формула требует их разности. Такое происходит, если вычисление разбивают на действия и пропускают одно из них. Запишите отдельно F(b), F(a), а затем вычитание — так проще заметить пропуск. Проверка подстановкой обоих пределов особенно нужна, если один из них равен нулю: его значение тоже следует явно учесть.
Если функция меняет знак внутри отрезка, ошибочно найти один интеграл и объявить его геометрической площадью. При вычислении интеграла положительные и отрицательные вклады могут частично или полностью сократиться. Найдите точки пересечения графика с осью Ox, разделите там отрезок и вычислите площади частей отдельно. В конце сложите их без знаков и сравните с интегралом: площадь не должна быть отрицательной.
Для применения формулы Ньютона — Лейбница нужно знать, что такое первообразная, и уметь находить её для простых функций. Также пригодится умение строить графики и определять, выше или ниже оси Ox они расположены на заданном отрезке. Эти знания помогают отличить интеграл от геометрической площади, когда функция меняет знак. Дальше определённый интеграл используют для нахождения площадей и при изучении других приложений интегрирования.
Что называют криволинейной трапецией?
Это фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. График образует верхнюю границу, ось Ox — нижнюю, а вертикальные прямые замыкают фигуру по бокам.
Почему площадь находят через предел сумм площадей прямоугольников?
На узких отрезках график меняется мало, поэтому фигуру можно приближённо заменить прямоугольниками. Чем мельче разбиение, тем точнее сумма их площадей; предел этих сумм даёт точное значение площади.
Как связаны определённый интеграл и площадь фигуры?
Если функция неотрицательна на отрезке, определённый интеграл равен площади фигуры под графиком и над осью Ox. Если функция отрицательна или меняет знак, интеграл учитывает знак участков, поэтому для геометрической площади нужны площади частей без знака.
Как вычислить интеграл, если известна первообразная?
Нужно подставить верхний предел в первообразную, затем вычесть её значение в нижнем пределе. Формула имеет вид ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), где F′(x) = f(x).
Почему интеграл может быть отрицательным, а площадь — нет?
Интеграл складывает вклады со знаком: участки графика над осью Ox дают положительный вклад, а под осью — отрицательный. Геометрическая площадь складывает размеры частей и потому всегда неотрицательна.
Площадь криволинейной трапеции и интеграл
