"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Определённый интеграл связывает функцию с отрезком и даёт числовой результат. Его вычисляют по формуле Ньютона—Лейбница: находят первообразную функции и вычитают её значение в нижнем пределе из значения в верхнем. Этот способ помогает быстро находить интегралы, а свойства интеграла позволяют менять порядок вычислений, разбивать отрезок на части и выносить постоянный множитель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Определённый интеграл функции f на отрезке — это число, которое записывают так: ∫ₐᵇ f(x) dx. Здесь f(x) называют подынтегральной функцией, а x — переменной интегрирования. Такое обозначение нужно, чтобы кратко указывать и функцию, и отрезок, к которому относится результат.
Пределы интегрирования — числа a и b, стоящие внизу и вверху знака интеграла: ∫ₐᵇ f(x) dx. Число a называют нижним пределом, а b — верхним. Они задают отрезок, на котором рассматривают функцию, поэтому при вычислении важно учитывать оба числа.
Формула Ньютона—Лейбница позволяет вычислить определённый интеграл через первообразную: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), если F′(x) = f(x). Первообразная F — функция, производная которой равна f. Формула нужна, чтобы заменить вычисление интеграла подстановкой двух чисел в найденную функцию.
Приращение первообразной — это разность F(b) − F(a), то есть значение F на верхнем конце отрезка минус значение на нижнем. Именно эта разность появляется в формуле Ньютона—Лейбница. Она показывает, как изменилось значение первообразной при переходе от a к b, и даёт значение интеграла.
Сначала для подынтегральной функции находят любую первообразную. Это возможно потому, что определённый интеграл связан с изменением первообразной на всём отрезке, а не требует подставлять в исходную функцию все точки отрезка. К любой первообразной можно прибавить константу C, но в разности получится (F(b) + C) − (F(a) + C), и C сократится.
По формуле Ньютона—Лейбница сначала подставляют верхний предел в первообразную, затем нижний и вычитают второе полученное значение из первого. Такой порядок соответствует записи F(b) − F(a). Например, если F(x) = x², то при пределах 1 и 3 вычисляют 3² − 1², а не наоборот.
Если пределы поменять местами, интеграл меняет знак: ∫ᵇₐ f(x) dx = F(a) − F(b) = −(F(b) − F(a)). Причина здесь в порядке вычитания: те же значения первообразной берутся в обратном порядке. Это свойство полезно, когда интеграл записан с пределами, расположенными не так, как удобнее для вычисления.
Если отрезок от a до b разбить точкой c, интеграл по целому отрезку равен сумме интегралов по частям: ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx. По формуле Ньютона—Лейбница в правой части получаются F(c) − F(a) и F(b) − F(c). Значения F(c) сокращаются, поэтому остаётся F(b) − F(a), то есть интеграл по всему отрезку.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx. Если F — первообразная f, то kF — первообразная kf, поскольку производная kF равна kf. По формуле Ньютона—Лейбница результат равен kF(b) − kF(a), то есть k умножить на исходную разность. Аналогично интеграл суммы или разности равен сумме или разности интегралов: это следует из того, что сумма или разность первообразных служит первообразной суммы или разности функций.
| Ситуация | Правило | Как применить |
|---|---|---|
| Вычисление по первообразной | ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) | Найти F, для которой F′ = f, и подставить оба предела. |
| Перестановка пределов | ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx | При смене мест a и b изменить знак результата. |
| Разбиение отрезка точкой c | ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx | Вычислить интегралы по частям и сложить. |
| Постоянный множитель | ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx | Вынести постоянное число k за знак интеграла. |
| Интеграл от суммы или разности | ∫ₐᵇ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx ± ∫ₐᵇ g(x) dx | Разделить выражение на слагаемые и вычислить интегралы по отдельности. |
Сначала выбери правило, которое упрощает запись, а затем найди первообразную и примени формулу Ньютона—Лейбница. При разбиении отрезка следи, чтобы части шли последовательно от нижнего предела к верхнему. После вычисления проверь порядок вычитания и знак ответа.
Найдём первообразную для 2x. Так как производная x² равна 2x, можно взять F(x) = x².
Применим формулу Ньютона—Лейбница: подставим верхний предел 2, затем нижний предел 0. Получим F(2) − F(0) = 2² − 0² = 4.
Ответ: 4. Здесь достаточно одной первообразной и двух подстановок, потому что интеграл задан на всём отрезке сразу.
Разобьём подынтегральное выражение на слагаемые: для 1/x первообразная — ln x, а для 2x — x². Поэтому можно взять F(x) = ln x + x².
Подставим пределы в правильном порядке: F(e) − F(1) = (ln e + e²) − (ln 1 + 1²). Так как ln e = 1, а ln 1 = 0, получаем (1 + e²) − 1 = e².
Ответ: e². Линейность помогает найти первообразную суммы по частям, но в конце всё равно нужно вычесть значение на нижнем пределе.
Сначала вычислим интеграл сразу. Первообразная равна F(x) = x³ − x² + x, поскольку её производная — 3x² − 2x + 1. Тогда F(2) − F(−1) = (8 − 4 + 2) − (−1 − 1 − 1) = 6 − (−3) = 9.
Теперь разобьём отрезок точкой 0. На части от −1 до 0 получаем F(0) − F(−1) = 0 − (−3) = 3, а на части от 0 до 2 — F(2) − F(0) = 6 − 0 = 6.
Сложим результаты по частям: 3 + 6 = 9. Получилось то же значение, что и при прямом вычислении, потому что промежуточное значение F(0) сокращается.
Ответ: 9 обоими способами. Совпадение подтверждает свойство аддитивности интеграла и помогает проверить вычисления.
Первая ошибка — вычесть значение первообразной в верхнем пределе из значения в нижнем, то есть получить F(a) − F(b). Так иногда делают, потому что начинают подстановку с нижнего предела. Проверка простая: сверь запись с формулой ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) и убедись, что первым стоит верхний предел.
Вторая ошибка — подставить только один предел или остановиться на нахождении первообразной. Это происходит, когда вычисление интеграла путают с поиском неопределённого интеграла. Проверь, что в записи есть значения и при a, и при b, а затем выполнено их вычитание.
Третья ошибка — считать, что константа C в первообразной меняет ответ. Её часто оставляют в вычислениях, потому что при поиске первообразной записывают F(x) + C. Проверь подстановку: одинаковое C входит в оба значения и сокращается в разности.
Четвёртая ошибка — при перестановке пределов оставить знак прежним. Такое бывает, если воспринимать пределы только как границы записи, а не как порядок вычитания. Для самопроверки поменяй местами F(a) и F(b): разность станет противоположной, поэтому перед интегралом нужен минус.
Для вычисления интегралов нужно уметь находить первообразные и пользоваться таблицей первообразных. Эти знания дают функцию F, которую затем подставляют в формулу Ньютона—Лейбница. Если первообразная найдена неверно, проверка производной поможет обнаружить ошибку.
Также важно уверенно подставлять числа и выражения в формулы и вычислять разности значений. Например, в F(b) сначала заменяют x на b во всём выражении, а потом считают; скобки помогают не потерять знак. Этот навык особенно полезен, когда нижний предел отрицательный.
Вычисление интегралов применяют при нахождении площадей фигур и в задачах на накопленное изменение величины. Интеграл позволяет перейти от заданного изменения к общему результату на отрезке. Поэтому формула Ньютона—Лейбница связывает работу с первообразными с практическими задачами.
Почему для вычисления определённого интеграла достаточно найти первообразную?
Формула Ньютона—Лейбница связывает определённый интеграл с изменением первообразной на заданном отрезке. Поэтому достаточно найти функцию F, для которой F′(x) = f(x), и вычислить F(b) − F(a).
Почему в формуле Ньютона—Лейбница сначала подставляют верхний предел?
В формуле разность записана именно как F(b) − F(a), где b — верхний предел, а a — нижний. Если поменять порядок вычитания, получится значение с противоположным знаком.
Влияет ли выбор первообразной на ответ?
Нет. Любые две первообразные одной функции отличаются только постоянной C, а при вычитании F(b) − F(a) эта постоянная сокращается.
Что происходит со знаком интеграла, если поменять пределы местами?
Знак интеграла меняется на противоположный: ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx. Это следует из того, что при перестановке пределов разность значений первообразной меняет знак.
Можно ли разбить отрезок интегрирования на несколько частей?
Да, если точка разбиения лежит между пределами интегрирования. Интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям, и отрезок можно разбить на несколько последовательных частей.
Вычисление интегралов
