§ 57. Вычисление интегралов

Определения и обозначения

Определённый интеграл — число, обозначаемое ∫ от a до b f(x) dx; числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования. Он описывает накопленное значение функции f на отрезке от a до b. В частности, если функция задаёт скорость, интеграл помогает найти изменение пройденного пути с учётом направления движения. Знак интеграла показывает, что значение функции учитывается на всём отрезке, а не только в одной точке.

Первообразная функции f — такая функция F, что её производная равна f: F′(x) = f(x). Например, для f(x) = 2x первообразной является F(x) = x², поскольку (x²)′ = 2x. Для вычисления определённого интеграла находят такую функцию, чтобы перейти от подынтегрального выражения к значениям на концах отрезка. Все первообразные одной функции отличаются на постоянное число.

Формула Ньютона—Лейбница устанавливает, что ∫ от a до b f(x) dx = F(b) − F(a), если F — первообразная f на этом отрезке. Иначе говоря, нужно вычислить значение F на верхнем пределе и вычесть значение на нижнем. Эта формула превращает вычисление интеграла в знакомую задачу подстановки чисел в функцию. Поэтому при решении важно верно найти первообразную и не перепутать порядок вычитания.

Как это устроено

Формула Ньютона—Лейбница объясняет, почему для вычисления интеграла достаточно знать первообразную. Если разбить отрезок на маленькие части, накопленные изменения первообразной на соседних частях складываются, а промежуточные значения взаимно сокращаются. Остаётся только общее изменение от начала отрезка до его конца. Поэтому интеграл равен F(b) − F(a), а отдельные значения функции внутри отрезка в окончательной формуле не нужны.

Запись F(b) − F(a) означает строго определённый порядок действий: сперва подставить верхний предел b в первообразную, потом подставить нижний предел a и вычесть полученное значение. Часто это кратко записывают так: [F(x)] от a до b = F(b) − F(a). Скобки с пределами относятся к первообразной, а не к подынтегральной функции. Если поменять порядок вычитания, получится число с противоположным знаком, поэтому пределы нужно подставлять внимательно.

Первообразных у функции обычно бесконечно много: если F — первообразная, то F + C тоже первообразная, где C — произвольная постоянная. Для определённого интеграла можно выбрать любую из них, потому что при вычислении разности постоянная сократится: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Поэтому в записи первообразной постоянную часто опускают. Это упрощает вычисления, не изменяя ответ.

Если переставить пределы интегрирования, верхний и нижний пределы поменяются ролями. Тогда по формуле Ньютона—Лейбница получим F(a) − F(b), а это противоположно F(b) − F(a). Значит, ∫ от b до a f(x) dx = −∫ от a до b f(x) dx. Такой знак учитывает направление прохождения отрезка; он не зависит от того, положительна функция или отрицательна.

Линейность позволяет вычислять интеграл по частям выражения. Постоянное число можно вынести: ∫ от a до b kf(x) dx = k∫ от a до b f(x) dx, а интеграл суммы равен сумме интегралов. Это работает потому, что первообразную суммы можно составить из суммы первообразных, а общий множитель сохраняется. В результате можно отдельно найти удобные первообразные для слагаемых, подставить пределы и сложить полученные значения.

Приёмы вычисления определённого интеграла

Сначала определите, известна ли первообразная подынтегральной функции; если выражение составное, примените линейность. Затем вычислите первообразную на каждом пределе и запишите разность в правильном порядке. В конце полезно проверить знаки и убедиться, что при перестановке пределов результат меняется на противоположный.

Разбор задач

1. Вычислить ∫ от 0 до 2 x dx

1. Подынтегральная функция — x, её первообразная равна x²/2, так как производная x²/2 равна x. Постоянную можно не записывать: в разности значений она всё равно сократится. Теперь применим формулу Ньютона—Лейбница.

2. Подставим верхний предел 2: 2²/2 = 2. Затем подставим нижний предел 0: 0²/2 = 0. Из значения в верхнем пределе вычитаем значение в нижнем, получая 2 − 0 = 2.

Ответ: 2.

2. Вычислить ∫ от 0 до π/2 (sin x + 2 cos x) dx

1. В выражении есть сумма, а перед cos x стоит постоянный множитель 2. По свойствам линейности разобьём интеграл: ∫ от 0 до π/2 sin x dx + 2∫ от 0 до π/2 cos x dx. Так каждую часть можно вычислить отдельно, используя табличные первообразные.

2. Первообразная sin x — −cos x, поэтому первая часть равна (−cos(π/2)) − (−cos 0) = 0 − (−1) = 1. Первообразная cos x — sin x, так что интеграл от cos x равен sin(π/2) − sin 0 = 1 − 0 = 1. Не забудем умножить его на вынесенный коэффициент 2.

3. Складываем две части: 1 + 2 · 1 = 3. Тригонометрические значения подставлены отдельно для верхнего и нижнего пределов, поэтому знаки в разностях видны. Это помогает не перепутать, например, вычитание значения при x = 0.

Ответ: 3.

3. Вычислить ∫ от −1 до 2 (3x² − 2x + 1) dx и проверить результат при перестановке пределов

1. Найдём первообразную каждого слагаемого: для 3x² это x³, для −2x это −x², для 1 — x. Получаем F(x) = x³ − x² + x. Линейность позволяет интегрировать многочлен по слагаемым, а затем собрать найденные части в одну функцию.

2. Подставляем верхний предел: F(2) = 8 − 4 + 2 = 6. Подставляем нижний предел, обязательно заключая отрицательное число в скобки: F(−1) = (−1)³ − (−1)² + (−1) = −1 − 1 − 1 = −3. Тогда интеграл равен F(2) − F(−1) = 6 − (−3) = 9.

3. При перестановке пределов интеграл от 2 до −1 равен F(−1) − F(2) = −3 − 6 = −9. Получилось число, противоположное первоначальному результату, как и должно быть при смене порядка пределов. В этой проверке особенно важно вычитать отрицательное значение F(−1) в первом вычислении.

Ответ: 9; при перестановке пределов получается −9.

Типичные ошибки

Подстановка пределов в подынтегральную функцию вместо первообразной — неверный шаг: формула Ньютона—Лейбница требует найти F, для которой F′ = f. Часто исходную функцию подставляют потому, что она уже записана в интеграле. Проверь себя: сначала запиши первообразную, а затем вычисляй её значения на концах отрезка.

Если вычесть значение первообразной в верхнем пределе из значения в нижнем, знак ответа окажется противоположным. Ошибка возникает из-за того, что пределы воспринимают как два равноправных числа и забывают их порядок. Перед вычислением запиши разность F(b) − F(a), где b — верхний предел, а a — нижний. Такая запись помогает проверить направление вычитания.

При перестановке пределов нельзя оставлять знак прежним: интеграл от b до a равен интегралу от a до b с противоположным знаком. Это легко упустить, если просто переписать пределы в обратном порядке. Проверь себя, применив формулу Ньютона—Лейбница к обоим вариантам: значения F(a) и F(b) в разности поменяются местами.

Ошибки со знаками часто появляются при подстановке отрицательного предела или вычислении тригонометрических значений. Например, в F(−1) нужно учитывать, что (−1)² = 1, а (−1)³ = −1; при подстановке в многочлен удобно заключать предел в скобки. В тригонометрическом примере отдельно проверь значения в каждой граничной точке. Контрольный шаг — ещё раз вычислить разность «верхний минус нижний» и оценить знак результата.

Связь с другими темами

Для вычисления определённых интегралов нужны умения находить первообразные основных функций и пользоваться таблицей первообразных. Также применяются свойства определённого интеграла: линейность и правило перестановки пределов помогают упростить запись и проверить ответ. Освоенные вычисления пригодятся при нахождении площадей криволинейных фигур и в других задачах математического анализа. Поэтому навык связывает изучение производных и первообразных с практическим применением интеграла.

Что запомнить

• Чтобы вычислить определённый интеграл, найди первообразную подынтегральной функции.
• Определённый интеграл равен значению первообразной в верхнем пределе минус её значение в нижнем.
• Произвольная постоянная в первообразной при вычислении определённого интеграла сокращается.
• При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется.
• Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
• Интеграл от суммы равен сумме интегралов.