§ 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграла

Определения и обозначения

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции, отрезком оси Ox и прямыми x = a и x = b. Слово «трапеция» здесь не означает, что у фигуры обязательно есть прямые боковые стороны: одна граница может быть кривой. Такое описание помогает точно указать, площадь какой фигуры мы ищем.

Разбиение отрезка [a; b] — деление его на части точками a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b. Длину i-й части обозначают Δxᵢ = xᵢ − xᵢ₋₁. Разбиение задаёт узкие промежутки, на которых график можно приближённо заменить прямыми и прямоугольниками.

Интегральная сумма — сумма произведений значений функции в выбранных точках частей разбиения на длины этих частей: Σ f(ξᵢ)Δxᵢ. Здесь ξᵢ — точка внутри i-й части, а f(ξᵢ) задаёт высоту прямоугольника. Такая сумма служит приближённой оценкой площади под графиком.

Определённый интеграл — предел интегральных сумм при стремлении наибольшей длины части разбиения к нулю; его обозначают ∫ₐᵇ f(x) dx. Индексы a и b показывают границы отрезка, а f(x) — функцию, по которой строятся суммы. Интеграл фиксирует точное значение, к которому приближаются суммы.

Как это устроено

Площадь прямоугольника находится как произведение длины на ширину, но у криволинейной трапеции верхняя граница изгибается. Поэтому одной постоянной высоты, как у прямоугольника, обычно нет. Разобьём основание [a; b] на части: так вместо всей сложной фигуры можно рассматривать много более простых узких полос.

На каждой части отрезка выбирают точку ξᵢ и используют значение f(ξᵢ) как высоту прямоугольника. Его ширина равна Δxᵢ, поэтому площадь составляет f(ξᵢ)Δxᵢ. Складывая такие произведения по всем частям, получаем интегральную сумму; выбор точки внутри участка может быть разным, но её координата должна принадлежать этому участку.

Почему прямоугольники дают приближение? На небольшом участке непрерывная функция меняется не слишком резко, поэтому её график близок к горизонтальному отрезку на высоте f(ξᵢ). Между графиком и верхними сторонами прямоугольников остаются небольшие недостающие или лишние области. Уменьшение ширины частей обычно уменьшает такие погрешности, а выбор точек влияет на конкретное значение суммы при данном разбиении.

Чтобы получить не приближение, а точное число, рассматривают суммы при всё более мелком разбиении. Если наибольшая длина части стремится к нулю, а суммы приближаются к одному и тому же числу независимо от выбора точек, это число называют пределом интегральных сумм. Для непрерывной на отрезке функции такой предел существует: непрерывность не позволяет графику делать скачки, которые мешали бы суммам согласованно приближаться.

Этот предел записывают как определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x) dx. Если f(x) ≥ 0 на всём отрезке, каждый прямоугольник лежит над осью Ox и его площадь положительна, поэтому интеграл равен площади криволинейной трапеции: S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Если график пересекает ось Ox, интеграл складывает площади над осью и вычитает площади под ней; геометрическую площадь в таком случае нужно находить отдельно по участкам.

От разбиения отрезка к площади криволинейной трапеции

Читайте таблицу сверху вниз: сначала строят разбиение, затем составляют приближение и переходят к пределу. В выражении суммы ξᵢ задаёт высоту прямоугольника через функцию, а Δxᵢ — его ширину. Последняя строка переводит результат вычислений в геометрический смысл при условии f(x) ≥ 0.

Разбор задач

Задача 1. Найти площадь криволинейной трапеции под графиком y = 2 на отрезке [0; 3]. Постоянная функция задаёт горизонтальную прямую, поэтому фигура оказывается прямоугольником. Интеграл здесь совпадает с обычной формулой площади, но решение показывает связь двух способов.

1. Высота фигуры равна 2, потому что значение функции на всём отрезке постоянно.
2. Ширина равна 3 − 0 = 3. По формуле площади через интеграл получаем S = ∫₀³ 2 dx.
3. Первообразная для 2 — функция 2x, поэтому S = 2 · 3 − 2 · 0 = 6.

Ответ: 6 квадратных единиц. Проверка по формуле прямоугольника даёт 2 · 3 = 6, значит геометрический смысл интеграла здесь совпал с привычным вычислением.

Задача 2. Найти площадь фигуры под графиком y = x на [0; 2], используя разбиение на равные части и интегральные суммы. Возьмём n равных частей длины Δx = 2/n и правые концы в качестве точек выбора. Полученная сумма будет приближённой площадью, а её предел — точным результатом.

1. На i-м участке правая точка имеет координату ξᵢ = 2i/n, где i принимает значения от 1 до n. Высота прямоугольника равна f(ξᵢ) = 2i/n.
2. Составляем сумму: Σ (2i/n)(2/n) = 4/n² · (1 + 2 + … + n). Используем формулу 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2, поэтому сумма равна 2(n + 1)/n.
3. Измельчение разбиения означает, что n стремится к бесконечности. Тогда 2(n + 1)/n стремится к 2, следовательно, площадь равна 2.

Ответ: 2 квадратные единицы. Сумма при конечном n ещё не является точной площадью: точное значение появляется в пределе. Для проверки можно заметить, что под прямой y = x на [0; 2] расположен прямоугольный треугольник с основанием 2 и высотой 2.

Задача 3. Найти площадь криволинейной трапеции под графиком y = x² на [0; 2], вычислив определённый интеграл. Функция неотрицательна на всём отрезке, поэтому интеграл сразу даёт геометрическую площадь. Вместо подсчёта прямоугольников воспользуемся первообразной.

1. Записываем площадь: S = ∫₀² x² dx.
2. Первообразная функции x² — F(x) = x³/3, поскольку производная x³/3 равна x².
3. Подставляем верхний и нижний пределы: S = F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3.

Ответ: 8/3 квадратной единицы. Площадь положительна, что согласуется с тем, что график y = x² на данном отрезке расположен на оси Ox или выше неё.

Типичные ошибки

Считать конечную интегральную сумму точным интегралом — ошибка: она лишь приближает площадь. Её допускают, потому что прямоугольники уже похожи на фигуру, особенно при достаточно мелком разбиении. Проверьте себя: точный интеграл — это предел сумм, а не любая одна сумма.

Забывать множитель Δxᵢ и складывать только значения f(ξᵢ) нельзя: получится сумма высот, а не площадей. Площадь каждого прямоугольника равна высоте, умноженной на ширину. В записи Σ f(ξᵢ)Δxᵢ убедитесь, что у каждого значения функции есть соответствующая длина участка.

Путать ξᵢ с Δxᵢ тоже неверно. ξᵢ — выбранная координата, в которой вычисляют функцию, а Δxᵢ — длина участка и ширина прямоугольника. Проверка проста: f(ξᵢ) отвечает за высоту, Δxᵢ имеет смысл длины; их произведение имеет смысл площади.

Нельзя всегда называть интеграл геометрической площадью, если график опускается ниже оси Ox. Ошибка возникает из-за того, что для неотрицательной функции интеграл и площадь действительно совпадают. Проверьте знак функции на всём отрезке: при смене знака разбейте отрезок в точках пересечения с осью и складывайте обычные площади без знака.

Связь с другими темами

Для понимания этой темы нужны графики функций, непрерывность на отрезке, площадь прямоугольника и предел последовательности. График показывает границы фигуры, а предел объясняет переход от приближённых сумм к точному числу. Если эти понятия знакомы, становится понятна логика определения интеграла.

Позже связь определённого интеграла с первообразной позволит вычислять интегралы без построения интегральных сумм. Формула ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) заменяет трудоёмкий предельный расчёт более коротким вычислением. Это именно тот способ, который использован в примере с y = x².

Интеграл применяют и для нахождения площадей фигур, ограниченных несколькими графиками. Тогда сначала определяют точки пересечения и выбирают, какая функция задаёт верхнюю границу, а какая — нижнюю. Площадь выражают интегралом разности соответствующих функций.

Что запомнить

• Криволинейная трапеция ограничена графиком функции, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
• Интегральная сумма складывает площади прямоугольников, приближающих криволинейную трапецию.
• Определённый интеграл — предел интегральных сумм при измельчении разбиения.
• Для непрерывной функции на отрезке определённый интеграл существует.
• Если f(x) ≥ 0 на [a; b], площадь под графиком равна ∫ₐᵇ f(x) dx.
• Если функция меняет знак, интеграл и геометрическая площадь могут различаться.