§ 55. Правила нахождения первообразных

Определения и обозначения

Первообразная функции f на промежутке — функция F, производная которой на этом промежутке равна f: F′(x) = f(x). Проще говоря, это функция, из которой дифференцированием получают f. Определение помогает проверять результат: достаточно найти производную предполагаемой первообразной.

Неопределённый интеграл функции f — множество всех её первообразных; его обозначают ∫f(x) dx. Поэтому запись интеграла означает не одну функцию, а семейство функций, отличающихся постоянным слагаемым. Такое обозначение удобно, когда требуется перечислить все возможные первообразные.

В записи ∫f(x) dx функция f(x) называется подынтегральной функцией, а dx указывает переменную интегрирования. Например, в ∫f(x) dx ищут функцию от x, производная которой равна f(x). Это обозначение помогает понять, по какой переменной выполняется действие.

Постоянная интегрирования C — произвольное число, которое добавляют к одной найденной первообразной, чтобы получить все первообразные функции. Она нужна потому, что производная любого постоянного слагаемого равна нулю. Например, если F — первообразная, то F + 7 и F − 3 тоже первообразные.

Как это устроено

Если F′(x) = f(x), то производная суммы F(x) + C равна F′(x) + 0, то есть f(x), при любом числе C. Поэтому добавление константы не меняет подынтегральную функцию. Обратное тоже верно: если F и G — первообразные одной функции на промежутке, то (F − G)′ = 0, а значит, F − G постоянно. Отсюда следует, что запись с C охватывает все варианты, а не только один найденный ответ.

Правило суммы опирается на правило дифференцирования суммы: производная суммы равна сумме производных. Если F′ = f и G′ = g, то (F + G)′ = f + g. Значит, чтобы восстановить функцию f + g, можно отдельно найти первообразные слагаемых, а затем сложить их. Это удобно, потому что для каждого простого слагаемого обычно есть своя формула.

Постоянный множитель выносят за знак интеграла, потому что производная произведения функции на число равна этому числу, умноженному на производную функции. Например, если F′ = f, то производная aF равна af, где a — постоянное число. Поэтому при нахождении первообразной множитель сохраняют перед результатом. Так выражение разбирается на части, которые легче сопоставить с таблицей.

Основные формулы первообразных получают, обращая таблицу производных: вместо функции ищут ту, производная которой даёт исходное выражение. Например, (xⁿ⁺¹)′ = (n + 1)xⁿ, поэтому для xⁿ нужно взять xⁿ⁺¹ и разделить на n + 1. Это рассуждение работает при n ≠ −1, иначе делить пришлось бы на ноль. Остальные формулы также проверяются дифференцированием: например, (−cos x)′ = sin x.

Для выражения из нескольких слагаемых сначала определяют, какие известные формулы подходят к каждому из них. Затем находят первообразную каждого слагаемого, учитывая его знак и числовой множитель, и складывают результаты. В конце добавляют одну общую C: несколько постоянных при сложении всё равно можно объединить в одну. Такая последовательность снижает риск потерять знак или множитель.

Основные правила нахождения первообразных

Найдите в левом столбце подходящее правило и сопоставьте ему подынтегральную функцию. Для суммы применяйте последнюю строку вместе с формулами для отдельных слагаемых. Не забудьте добавить C, а затем при необходимости проверить результат производной.

Разбор задач

Задача 1. Найти все первообразные функции f(x) = 6x. Здесь дано произведение постоянного числа на степенную функцию x. Поэтому сначала сохраняем множитель 6, а затем применяем формулу для xⁿ при n = 1. В конце записываем постоянную интегрирования, поскольку требуется найти все первообразные.

1. Используем формулу: первообразная x равна x²/2.
2. Учитываем множитель: 6 · x²/2 = 3x².
3. Добавляем произвольную постоянную C.

Ответ: F(x) = 3x² + C. Проверка: F′(x) = 6x, то есть получена исходная функция.

Задача 2. Найти все первообразные функции f(x) = 3x² − 2cos x. Выражение состоит из двух слагаемых, поэтому обрабатываем их отдельно. Множители 3 и −2 сохраняем, а для каждого слагаемого выбираем соответствующую табличную формулу. После сложения результатов добавляем C.

1. Для 3x² получаем 3 · x³/3 = x³.
2. Для −2cos x используем первообразную cos x, равную sin x: результат равен −2sin x.
3. Объединяем результаты и добавляем постоянную интегрирования.

Ответ: F(x) = x³ − 2sin x + C. Проверка даёт F′(x) = 3x² − 2cos x.

Задача 3. Найти первообразную функции f(x) = 4x³ + 3/x − 2sin x, если её график проходит через точку (1; 5). Сначала найдём семейство первообразных, а затем используем условие F(1) = 5. Формула для 1/x в таблице действует при x > 0, поэтому рассматриваем промежуток, содержащий x = 1 и расположенный правее нуля. Подстановка точки позволит определить единственное значение C.

1. Для 4x³ первообразная равна x⁴; для 3/x при x > 0 — 3ln x.
2. Первообразная −2sin x равна 2cos x, так как (cos x)′ = −sin x.
3. Получаем F(x) = x⁴ + 3ln x + 2cos x + C. Подставляем x = 1 и F(1) = 5: 1 + 0 + 2 + C = 5, откуда C = 2.

Ответ: F(x) = x⁴ + 3ln x + 2cos x + 2 при x > 0. Условие в точке выполнено: F(1) = 5.

Типичные ошибки

Не добавляют C. Тогда записывают только одну первообразную, хотя обычно требуется всё семейство. Это происходит, когда забывают, что производная константы равна нулю. Проверьте себя: можно ли прибавить к ответу любое число и получить ту же производную? Если да, запишите + C.

Неверно применяют степенное правило. При переходе от xⁿ к первообразной показатель нужно увеличить на единицу, а результат разделить на новый показатель. Часто вспоминают только одно из этих действий. Проверьте ответ дифференцированием: производная должна вернуть исходную степень и её коэффициент.

Путают знаки у синуса и косинуса. Первообразная sin x — −cos x, а первообразная cos x — sin x. Ошибка возникает из-за того, что производная косинуса содержит минус. Для проверки продифференцируйте полученное выражение и убедитесь, что знак совпадает с исходным слагаемым.

Применяют степенную формулу при n = −1. Тогда знаменатель n + 1 равен нулю, поэтому формула не имеет смысла. Случай x⁻¹, то есть 1/x, нужно распознавать отдельно и использовать ln x + C при x > 0. Самопроверка проста: подставьте показатель в формулу и убедитесь, что деления на ноль нет.

Связь с другими темами

Для нахождения первообразных нужны определение производной и таблица производных степенных, тригонометрических и показательной функций. Правила первообразных готовят к вычислению определённых интегралов и нахождению площадей фигур с помощью интеграла. Связь с производной даёт способ проверить любой найденный ответ: продифференцировать его и сравнить с исходной функцией. Так дифференцирование и интегрирование оказываются связанными действиями.

Что запомнить

• Первообразная F функции f удовлетворяет равенству F′ = f.
• Все первообразные одной функции отличаются на постоянную.
• Неопределённый интеграл записывает семейство первообразных.
• Первообразную суммы находят как сумму первообразных слагаемых.
• Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
• Формулы первообразных связаны с таблицей производных.
• После нахождения первообразной проверьте ответ дифференцированием.