§ 58. Вычисление площадей с помощью интегралов

Определения и обозначения

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b. Её нижняя граница лежит на оси Ox, а боковые стороны вертикальны. Такая фигура может иметь кривую верхнюю границу. Это удобная модель для вычисления площади под графиком на отрезке [a; b].

Площадь криволинейной трапеции — величина, равная определённому интегралу функции на отрезке, если график не ниже оси абсцисс. Обозначение площади — S, а формула имеет вид S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Здесь a и b задают левую и правую границы фигуры. Условие f(x) ≥ 0 нужно, чтобы интеграл совпадал с геометрической площадью.

Площадь фигуры между графиками — площадь области, ограниченной графиками двух функций и вертикальными прямыми. Если на всём промежутке f(x) расположена выше g(x), то S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Разность показывает высоту вертикальной полоски внутри области. Понятие нужно, когда у фигуры нет оси Ox в качестве одной из границ.

Как это устроено

Чтобы понять, почему площадь под графиком превращается в интеграл, разделим [a; b] на узкие отрезки. На каждом отрезке кривую можно приблизить прямоугольником: его ширина равна длине отрезка, а высота — значению функции примерно в одной из точек. Складывая площади прямоугольников, получаем приближение площади фигуры. Чем уже полоски, тем точнее сумма, а её предел и выражается определённым интегралом.

Знак функции важен потому, что определённый интеграл складывает не просто площади, а площади со знаками. Над осью Ox значения f(x) положительны, поэтому вклад положителен; под осью значения отрицательны, и вклад вычитается. Если график проходит ниже оси, интеграл на всём отрезке может не совпасть с геометрической площадью. Для площади учитывают модули вкладов или разбивают отрезок на участки и меняют знак отрицательного интеграла.

При вычислении площади между двумя графиками представьте узкую вертикальную полоску внутри области. Её высота равна расстоянию от нижнего графика до верхнего, то есть разности их ординат. Поэтому на каждом участке из верхней функции вычитают нижнюю, а затем интегрируют полученную разность. Если функции обозначены f и g и f(x) ≥ g(x), используют ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx.

Точки пересечения нужны, потому что именно там границы области часто начинаются и заканчиваются. Их находят из равенства функций, например f(x) = g(x), или из условия f(x) = 0 при пересечении с осью Ox. Кроме того, в точке пересечения графики могут поменяться местами: один окажется выше слева, а другой — справа. Тогда на каждом участке нужна своя разность, поэтому область делят по найденным точкам.

Геометрическую задачу удобно переводить в вычисление по порядку. Сначала схематично изобразите границы и отметьте точки пересечения, затем определите отрезок или несколько отрезков, на которых находится фигура. После этого выберите подынтегральную функцию: f(x) для площади под неотрицательным графиком или верхнюю функцию минус нижнюю для области между графиками. Наконец, вычислите интегралы и сложите площади частей, если область была разбита.

Как выбрать интеграл для вычисления площади

Сначала найдите строку, которая соответствует границам вашей фигуры, затем проверьте знак функции или порядок графиков. Если условия меняются внутри отрезка, применяйте последнюю строку и считайте каждый участок отдельно. Пределы должны охватывать именно ту область, площадь которой требуется найти.

Разбор задач

Задача 1. Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2. На отрезке [0; 2] функция x² неотрицательна, значит, площадь равна интегралу функции. Первообразная для x² — x³/3.

1. Запишем формулу: S = ∫₀² x² dx.
2. Вычислим по формуле Ньютона—Лейбница: S = (x³/3)|₀² = 8/3 − 0.
3. Получили положительное значение, соответствующее площади фигуры.

Ответ: S = 8/3.

Задача 2. Найдём площадь фигуры, ограниченной графиками y = 2x и y = x². Сначала выясним, где графики пересекаются: их абсциссы задают границы области. Между точками пересечения нужно установить, какой график расположен выше, чтобы разность под интегралом была неотрицательной.

1. Решаем уравнение 2x = x²: x(x − 2) = 0, поэтому x = 0 и x = 2.
2. На промежутке (0; 2) прямая выше параболы, например при x = 1 имеем 2 > 1. Значит, S = ∫₀² (2x − x²) dx.
3. Вычисляем: S = (x² − x³/3)|₀² = 4 − 8/3 = 4/3.

Ответ: S = 4/3.

Задача 3. Найдём площадь между графиком y = x² − 1 и осью Ox на отрезке [−2; 2]. Функция равна нулю при x = −1 и x = 1, поэтому там меняется её знак. На отрезках [−2; −1] и [1; 2] график выше Ox, а между корнями — ниже.

1. Разобьём фигуру по точкам −1 и 1. Площадь равна ∫₋₂⁻¹ (x² − 1) dx − ∫₋₁¹ (x² − 1) dx + ∫₁² (x² − 1) dx.
2. Первообразная — F(x) = x³/3 − x. На каждом участке вычисляем разность значений F на концах; средний интеграл вычитаем, так как функция там отрицательна.
3. Внешние участки дают по 2/3, а средний участок после смены знака — 4/3. Сумма площадей равна 2/3 + 4/3 + 2/3 = 8/3.

Ответ: S = 8/3.

Типичные ошибки

Иногда определённый интеграл сразу принимают за площадь, не проверяя знак функции. Так поступают, потому что интеграл и площадь связаны одной формулой, но эта формула без поправок работает для графика над Ox. Проверьте знак на всём отрезке; если он меняется, найдите нули и разделите область.

При вычислении площади между графиками можно вычесть нижнюю функцию из верхней наоборот. Тогда разность станет отрицательной, хотя ширина полосок и площадь должны быть неотрицательны. Сравните значения функций хотя бы в одной внутренней точке каждого участка и убедитесь, что подынтегральная разность неотрицательна.

Выбор границ без нахождения пересечений приводит к тому, что часть фигуры может остаться за пределами интегрирования. Ошибка возникает, если использовать привычные или произвольные числа вместо границ области. Решите уравнение равенства графиков и сопоставьте найденные абсциссы с условием; границы также могут быть заданы вертикальными прямыми.

Ещё одна ошибка — не делить фигуру, когда график пересекает Ox или функции меняются местами. Из-за этого на части отрезка знак интеграла либо порядок вычитания окажется неверным. Найдите точки смены знака и пересечения, проверьте расположение графиков на каждом участке и складывайте именно положительные площади частей.

Связь с другими темами

Для вычисления площади нужны первообразная и формула Ньютона—Лейбница: с их помощью определённый интеграл превращают в разность значений первообразной на концах отрезка. Также приходится решать уравнения, чтобы находить точки пересечения графиков и нули функции. Поэтому умение строить графики и исследовать знаки помогает правильно выбрать пределы и формулу.

Интеграл применяют не только в геометрии. В физике с его помощью находят величины, которые накапливаются непрерывно, например путь при известной скорости. Идея похожа на вычисление площади: складываются малые вклады, каждый из которых относится к небольшому участку времени или координаты.

Что запомнить

• Если f(x) ≥ 0 на [a; b], площадь под графиком равна ∫ₐᵇ f(x) dx.
• Определённый интеграл может быть отрицательным, геометрическая площадь — нет.
• Для площади между графиками интегрируют верхнюю функцию минус нижнюю.
• Точки пересечения графиков часто задают пределы интегрирования.
• Если функция меняет знак или графики меняются местами, область нужно разбить на участки.
• Площадь всей фигуры равна сумме площадей её непересекающихся частей.