"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Определённый интеграл помогает вычислять площадь области, ограниченной графиком функции, осью Ox и вертикальными прямыми или двумя графиками. Его смысл связан с суммой площадей узких прямоугольников: чем уже они становятся, тем точнее приближение. Для неотрицательной функции площадь под графиком равна интегралу, а между графиками — интегралу разности верхней и нижней функций. Если функция меняет знак или графики пересекаются, область разбивают на части.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции, осью Ox и прямыми x = a и x = b. Числа a и b задают левую и правую границы области по горизонтальной оси. Такое определение позволяет точно описать фигуру, площадь которой предстоит найти.
Площадь криволинейной трапеции — величина, которую находят как определённый интеграл функции на отрезке, если функция неотрицательна. Для графика y = f(x) на [a; b] запись имеет вид S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Это правило превращает задачу о площади под кривой в вычисление интеграла.
Площадь между графиками — площадь области, ограниченной графиками двух функций и вертикальными прямыми. Если на всём выбранном промежутке верхняя функция — f, а нижняя — g, площадь вычисляют интегрированием разности f − g. Порядок вычитания нужен, чтобы высота каждого узкого прямоугольника была неотрицательной.
Определённый интеграл связывают с площадью потому, что область под графиком можно мысленно разделить вертикальными линиями на узкие полосы. Каждую полосу приближённо заменяют прямоугольником, высота которого равна значению функции, а площадь — произведению высоты на ширину. Сумма таких площадей даёт приближение, а при всё более мелком разбиении приводит к точному значению интеграла.
Чтобы задать криволинейную трапецию по графику, сначала находят её левую и правую границы a и b. Затем проверяют, что график не опускается ниже оси Ox на всём отрезке: иначе интеграл будет учитывать знак функции, а не только геометрическую площадь. Если функция неотрицательна, можно сразу использовать интеграл от a до b.
Площадь под неотрицательным графиком находят, записывая интеграл от функции на нужном отрезке. Для вычисления применяют формулу Ньютона—Лейбница: находят первообразную F, для которой F′(x) = f(x), и считают F(b) − F(a). Такой способ заменяет сложение большого числа узких прямоугольников вычислением значений первообразной на концах отрезка.
Для области между двумя графиками нужно узнать, где она начинается и заканчивается: обычно границы находят из уравнения f(x) = g(x). На каждом участке выясняют, какой график расположен выше, например подставляя пробное значение x между точками пересечения. Затем из верхней функции вычитают нижнюю: разность задаёт высоту полосы, а её интеграл — площадь области.
Если график пересекает ось Ox, интеграл на всём отрезке может сложить площади над осью и вычесть площади под ней. Если два графика пересекаются внутри области, на разных участках верхней может быть то одна, то другая функция. В обоих случаях отрезок делят в точках смены знака или порядка графиков, вычисляют площадь каждого участка отдельно и складывают полученные неотрицательные значения.
| Область | Условия | Интеграл для площади |
|---|---|---|
| Под графиком и над осью Ox на [a; b] | f(x) ≥ 0 | ∫ₐᵇ f(x) dx |
| Между графиками f и g на [a; b] | f(x) ≥ g(x) | ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx |
| Под графиком, который пересекает Ox | Знак f меняется | Разбить отрезок по нулям функции и сложить площади частей |
| Между графиками, которые пересекаются внутри отрезка | Верхняя функция меняется | Разбить отрезок в точках пересечения и интегрировать верхнюю минус нижнюю |
Сначала определите, какая именно область задана, а затем проверьте знак функции или взаимное положение графиков. Если условия в строке выполняются на всём отрезке, можно использовать указанную формулу напрямую. При смене знака или порядка графиков сначала разделите область на подходящие части.
Задача 1. Найти площадь фигуры под графиком y = x² на отрезке [0; 2]. На этом отрезке x² ≥ 0, значит, интеграл совпадает с площадью. Запишем его и вычислим с помощью первообразной x³/3.
Ответ: 8/3 квадратной единицы. Здесь не требуется разбивать отрезок, так как функция не меняет знак.
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками y = x и y = x². Сначала находим точки пересечения: x = x², откуда x = 0 или x = 1. Между ними прямая y = x лежит выше параболы y = x², поэтому площадь равна интегралу разности x − x².
Ответ: 1/6 квадратной единицы. Точки пересечения здесь одновременно задают границы замкнутой области.
Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x² − 1 и осью Ox на отрезке [−2; 2]. График пересекает ось Ox при x² − 1 = 0, то есть при x = −1 и x = 1. Между этими точками функция отрицательна, а снаружи — положительна, поэтому одного интеграла на всём отрезке недостаточно для площади.
Ответ: 8/3 квадратной единицы. На участке под осью знак функции поменяли, чтобы площадь этой части вошла в сумму положительной.
Определённый интеграл принимают за площадь даже при отрицательных значениях функции. Это происходит потому, что формулу для криволинейной трапеции переносят на любой график без проверки знака; интеграл тогда вычитает части под осью. Проверьте знак на промежутке и сравните полученный результат с тем, что площадь не может быть отрицательной.
На всём промежутке вычитают одну и ту же функцию из другой, хотя графики пересекаются. Ошибка возникает, если выбрать верхний график только по одному участку и не проверить его положение дальше. Найдите точки пересечения и проверьте порядок функций между ними; при смене порядка разделите интеграл.
Не находят границы области по точкам пересечения графиков или графика с осью Ox. Тогда интеграл может описывать более широкую или другую область, чем та, о которой спрашивают. Перед вычислением подставьте границы в уравнения и убедитесь, что именно в этих точках заканчивается нужная фигура.
Складывают интегралы по частям без учёта знака функции. Отрицательный вклад участка под осью уменьшает общий интеграл, хотя площади частей должны складываться. Для проверки отдельно определите знак на каждом участке: там, где функция отрицательна, измените знак соответствующего интеграла и только потом складывайте площади.
Чтобы находить площадь интегралом, нужно уметь вычислять определённые интегралы по формуле Ньютона—Лейбница и находить первообразные. Графики помогают увидеть границы области и определить, какая функция выше; для этого пригодятся построение графиков, решение уравнений и поиск точек пересечения. Прикладной смысл интеграла расширяет эти навыки: тем же способом в задачах находят геометрические величины и другие характеристики областей.
Почему определённый интеграл можно использовать для вычисления площади?
Область под графиком можно приблизить узкими прямоугольниками и сложить их площади. При уменьшении ширины прямоугольников приближение становится точнее, а его предел выражается определённым интегралом.
Что делать, если график функции проходит ниже оси Ox?
Найдите нули функции и разбейте отрезок в этих точках. На участках ниже оси Ox интеграл отрицателен, поэтому для площади его значение берут с противоположным знаком.
Как определить, какую функцию вычитать при нахождении площади между графиками?
На каждом участке определите, какой график расположен выше. Из значения верхней функции вычитайте значение нижней и интегрируйте полученную разность.
Зачем находить точки пересечения графиков перед вычислением площади?
Точки пересечения могут задавать границы искомой области. Кроме того, в них графики могут поменяться местами, и тогда интеграл нужно разделить на части.
Когда нужно разбивать промежуток интегрирования на несколько частей?
Разбиение нужно, если функция меняет знак или если графики пересекаются и меняются местами. На каждом полученном участке площадь считают отдельно, а затем складывают.
Вычисление площадей с помощью интегралов
