§ 59*. Применение производной и интеграла к решению практических задач

Определения и обозначения

Оптимизационная задача — практическая задача, в которой требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины при заданных условиях. Например, можно искать наибольший объём коробки или наименьшую длину ограды. Это понятие помогает распознать задачи, где нужно не просто вычислить величину, а подобрать наилучший вариант.

Целевая функция — функция, значение которой нужно максимизировать, то есть сделать как можно большим, или минимизировать, то есть сделать как можно меньшим. Её записывают через выбранную переменную: например, объём коробки V(x). Целевая функция нужна, чтобы применять к практической задаче методы исследования функций.

Допустимые значения — значения переменной, которые удовлетворяют условиям задачи и принадлежат области определения целевой функции. Если x обозначает сторону вырезаемого квадрата, то x не может быть отрицательным, а размеры дна коробки должны оставаться положительными. Ограничения отсекают математические варианты, которые в реальности невозможны.

Накопленная величина — итоговое количество, которое можно найти интегрированием скорости изменения этой величины. Например, скорость движения показывает, как меняется положение тела со временем, а интеграл скорости даёт перемещение за промежуток. Понятие полезно, когда известна не сама величина, а темп её изменения.

Как это устроено

Чтобы перевести практическое условие на язык математики, сначала выбери переменную, обозначающую независимую величину. Затем вырази через неё остальные нужные величины и составь формулу для искомого результата. Например, если известна площадь прямоугольника, одну его сторону можно обозначить x, а другую выразить через площадь и x. После этого выпиши ограничения: геометрические размеры обычно должны быть положительными, а знаменатели формул — не равными нулю.

Производную используют при поиске наибольшего или наименьшего значения, потому что она показывает, где функция возрастает и убывает. Внутри допустимого промежутка экстремум может находиться в критической точке: это точка, где производная равна нулю или не существует. Но такой кандидат не обязательно является нужным максимумом или минимумом. На замкнутом промежутке наилучшее значение может оказаться и на конце, где функция не обязана иметь производную, поэтому границы тоже проверяют.

После нахождения критических точек нужно убедиться, что они принадлежат допустимому промежутку. Затем вычисли целевую функцию во всех подходящих точках и на концах замкнутого промежутка. Сравнение значений показывает, какое из них действительно наибольшее или наименьшее: одной проверки производной в отдельной точке для этого недостаточно. Если промежуток открыт, дополнительно учитывай, достигается ли найденное значение или только приближается к нему.

Определённый интеграл скорости изменения складывает малые изменения величины на всём промежутке. Если v(t) — скорость тела, то интеграл от v(t) по времени даёт перемещение, то есть изменение положения с учётом направления. Когда скорость положительна, тело движется в выбранном положительном направлении, а при отрицательной — в обратном. Поэтому перемещение может быть меньше пройденного пути: участки движения в разные стороны частично компенсируются.

Математический ответ нужно вернуть к смыслу исходного условия, потому что формула сама по себе не сообщает, подходит ли результат задаче. Проверь единицы: например, объём измеряется в кубических сантиметрах, а длина — в метрах. Убедись, что выбранное значение переменной допустимо и все размеры имеют физический смысл. В конце сформулируй ответ словами, указав найденную величину и необходимые единицы измерения.

Выбор математического метода в практической задаче

Сначала определи, какой результат требуется: оптимальное значение, общее изменение величины или длина пути. Затем выбери модель и метод из соответствующей строки. Последний столбец помогает проверить, что математический результат подходит к условию, а не только правильно вычислен.

Разбор задач

Коробка наибольшего объёма

Из прямоугольного листа размером 20 × 30 см вырезают одинаковые квадраты по углам и загибают края. Нужно найти сторону квадратов, при которой объём открытой коробки максимален. Обозначим сторону квадрата через x; тогда высота коробки равна x, а стороны дна — 20 − 2x и 30 − 2x. Размеры должны быть положительными, поэтому 0 < x < 10.

1. Запишем целевую функцию: V(x) = x(20 − 2x)(30 − 2x) = 600x − 100x² + 4x³.
2. Найдём производную: V′(x) = 600 − 200x + 12x². Решение уравнения V′(x) = 0 даёт x = (25 − 5√7)/3 и x = (25 + 5√7)/3.
3. Второй корень больше 10 и не входит в допустимый промежуток. Первый корень примерно равен 3,92 см. Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку, значит, объём сначала растёт, затем убывает.
4. На концах промежутка объём стремится к нулю: при x = 0 высота равна нулю, а при x = 10 один размер дна обращается в ноль. Поэтому найденная внутренняя точка даёт максимум.

Ответ: сторона вырезаемых квадратов должна быть (25 − 5√7)/3 см, примерно 3,92 см.

Ограда у стены

Прямоугольный участок площадью 200 м² нужно огородить с трёх сторон, используя стену как четвёртую. Найдём размеры, при которых длина ограды минимальна. Обозначим через x ширину участка, перпендикулярную стене, а через y — сторону вдоль стены. Тогда xy = 200, обе стороны положительны.

1. Из условия площади выразим y = 200/x, где x > 0.
2. Ограда нужна для двух сторон шириной x и одной стороны длиной y, поэтому её длина L(x) = 2x + 200/x.
3. Найдём производную: L′(x) = 2 − 200/x². Уравнение L′(x) = 0 даёт x² = 100; с учётом x > 0 получаем x = 10 м.
4. При x < 10 производная отрицательна, а при x > 10 положительна. Значит, длина ограды сначала убывает, а затем возрастает; соответствующее значение второй стороны y = 200/10 = 20 м.

Ответ: размеры участка — 10 м и 20 м; сторона длиной 20 м расположена вдоль стены.

Перемещение и путь тела

Скорость тела на промежутке от 0 до 6 с задана формулой v(t) = t² − 4t + 3 м/с. Нужно найти перемещение и пройденный путь за это время. Сначала найдём первообразную F(t) = t³/3 − 2t² + 3t, чтобы вычислить интегралы скорости. Для пути отдельно учтём моменты, когда тело меняет направление.

1. Перемещение равно интегралу скорости от 0 до 6: F(6) − F(0) = −36 м. Отрицательный знак означает, что итоговое смещение направлено против выбранного положительного направления.
2. Найдём нули скорости: t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3), поэтому скорость меняет знак при t = 1 и t = 3 с. Она положительна на промежутках от 0 до 1 и от 3 до 6, отрицательна от 1 до 3.
3. Путь считаем по частям, складывая модули перемещений: |F(1) − F(0)| + |F(3) − F(1)| + |F(6) − F(3)|. Получаем 4/3 + 4/3 + 36 = 38⅔ м.

Ответ: перемещение равно −36 м, пройденный путь — 38⅔ м.

Типичные ошибки

Найти критическую точку и сразу объявить её ответом — значит не доказать, что это нужный экстремум. Критическая точка может соответствовать минимуму вместо максимума или вообще не быть экстремумом, а максимум на замкнутом промежутке может находиться на конце. Ошибку допускают, когда считают уравнение производной достаточным доказательством. Проверь знак производной или сравни значения функции во всех подходящих критических точках и на границах.

Если не задать допустимые значения переменной, в расчёт могут попасть невозможные размеры или точки вне области определения функции. Часто ограничения пропускают, потому что сосредоточиваются на вычислениях производной. Перед исследованием выпиши из условия неравенства и проверь, удовлетворяют ли им найденные значения. Например, сторона вырезаемого квадрата должна быть положительной и меньше половины меньшей стороны листа.

Интеграл скорости может быть отрицательным, поэтому его нельзя всегда считать пройденным путём. Отрицательные участки означают движение в обратном направлении и вычитаются при вычислении перемещения. Чтобы не спутать величины, сравни смысл вопроса с формулой: для перемещения интегрируй v(t), для пути — |v(t)|. Если скорость меняет знак, разбей промежуток в точках её смены.

Число без единиц и объяснения не отвечает на практический вопрос полностью. Например, длина и площадь различаются и единицами, и смыслом, а отрицательный ответ может обозначать направление, но не длину пути. Такая ошибка появляется, когда после вычислений забывают вернуться к условию. Проверь размерность результата и допиши, что именно найдено, с единицами измерения.

Связь с другими темами

Для оптимизации нужно уметь составлять функцию по условию, находить её область определения, вычислять производную и критические точки. Поэтому практические задачи опираются на исследование функций и правила дифференцирования. Для вычисления накопленного изменения требуется понимать определённый интеграл и его связь с площадью и изменением величины. Такие методы применяют в физике и экономике: анализируют движение, расход ресурсов, производительность и выбирают способы использования материалов.

Что запомнить

• Сначала переведи условие задачи в математическую модель.
• Для оптимизации явно задай целевую функцию и допустимые значения переменной.
• На замкнутом промежутке сравни значения функции в критических точках и на концах.
• Интеграл скорости даёт перемещение, а не всегда пройденный путь.
• При смене знака скорости разбей промежуток, чтобы найти путь.
• Проверь единицы измерения и сформулируй ответ с учётом условия.