"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Правило произведения помогает считать, сколькими способами можно выполнить действие из нескольких последовательных этапов. Если первый этап можно выполнить m способами, а для каждого его варианта второй — n способами, всего получается m · n вариантов. Для трёх и более этапов перемножают числа вариантов каждого из них, учитывая ограничения предыдущих выборов. Это правило используют в задачах о кодах, комплектах и маршрутах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правило произведения утверждает: если действие состоит из двух последовательных этапов, первый можно выполнить m способами, а второй — n способами при любом выборе на первом этапе, то всё действие можно выполнить m · n способами. Здесь m и n обозначают количества возможных вариантов, а точка — умножение. Правило нужно, чтобы посчитать не отдельные шаги, а все возможные результаты действия целиком.
Этап выбора — отдельная часть последовательного действия, для которой подсчитывают число возможных вариантов. Например, при составлении комплекта одежды выбор рубашки и выбор брюк — два этапа. Разделение на этапы помогает увидеть, какие решения необходимо принять и не пропустить ни одно из них. Число вариантов каждого этапа считают с учётом условий задачи.
Комбинация, или вариант выбора, — один конкретный способ выполнить все этапы действия. Если выбраны определённая рубашка и определённые брюки, эта пара и есть одна комбинация. Подсчитывая комбинации, мы определяем, сколько разных итогов можно получить. Важно заранее понять, считаются ли результаты разными при изменении порядка выбора или состава элементов.
Представим, что для прогулки выбирают одну из двух курток и одну из трёх шапок. Это два последовательных этапа: сначала можно выбрать куртку, затем шапку. Каждый итоговый комплект содержит и куртку, и шапку, поэтому учитывать только число курток или только число шапок недостаточно. Чтобы перечислить результаты без пропусков, для каждой куртки рассматривают все доступные шапки.
Почему получается умножение? Для первой куртки есть три комплекта, для второй — тоже три, всего две группы по три результата. Значит, число всех пар равно 3 + 3 = 2 · 3. В общем случае каждому из m вариантов первого этапа соответствуют n вариантов второго, поэтому получается m групп по n комбинаций. Такая группировка и объясняет произведение m · n.
Если этапов больше двух, рассуждение повторяют последовательно. Для выбора рубашки, брюк и обуви, если доступны соответственно 5, 4 и 2 варианта, число комплектов равно 5 · 4 · 2. Сначала каждому выбору рубашки сопоставляют все пары «брюки и обувь», а затем считают результаты для всех рубашек. Поэтому для нескольких этапов перемножают количества вариантов каждого этапа.
Иногда число вариантов следующего этапа меняется после предыдущего выбора. Тогда нельзя автоматически записывать одно и то же число для всех этапов: сначала выясните, сколько продолжений возможно после каждого выбора. Если после разных первых выборов остаётся разное число продолжений, можно отдельно посчитать случаи и сложить их результаты. Если же на каждом шаге число вариантов определено для любого предыдущего выбора и одинаково, произведение этих чисел даёт общее число комбинаций.
Последовательный выбор не следует путать с выбором одного из нескольких взаимоисключающих вариантов. Если составляют комплект из рубашки и брюк, нужны оба элемента, поэтому применяют умножение. Если же выбирают либо рубашку, либо брюки как один подарок, выполняют только один из вариантов, поэтому подходящим будет сложение количеств. Сначала спросите себя: нужно выполнить все этапы или выбрать ровно один вариант?
| Ситуация | Число вариантов первого этапа | Число вариантов второго этапа | Общее число вариантов |
|---|---|---|---|
| Два последовательных этапа | m | n для каждого варианта первого этапа | m · n |
| Три последовательных этапа | m | n; на третьем этапе — k | m · n · k |
| Условия применения правила произведения | Число вариантов нужно определить | Для каждого предыдущего выбора число продолжений известно | Перемножают количества вариантов этапов |
Сначала найдите в таблице число вариантов каждого этапа, затем перемножьте его с остальными. В строке об условиях проверьте, действительно ли действие состоит из последовательных этапов и учтены ли ограничения предыдущих выборов.
Для школьного проекта можно выбрать одну из 4 тем и один из 3 способов оформления. Нужно составить проект, поэтому требуются оба решения: и тема, и оформление. Для каждой темы доступны все три способа оформления.
Выделим два этапа: выбрать тему, затем выбрать оформление.
На первом этапе есть 4 варианта, на втором — 3 варианта при любой теме. По правилу произведения получаем 4 · 3 = 12 комбинаций.
Ответ: можно составить 12 вариантов проекта.
Из 5 рубашек, 4 пар брюк и 2 пар обуви составляют комплект. Комплект включает по одному предмету каждого вида, поэтому действие состоит из трёх этапов. Условие не запрещает сочетать выбранные вещи друг с другом.
Сначала выбирают рубашку — 5 вариантов, затем брюки — 4 варианта.
К каждой такой паре можно добавить одну из 2 пар обуви. Перемножаем числа вариантов всех трёх этапов: 5 · 4 · 2 = 40.
Ответ: возможно 40 разных комплектов.
Код состоит из трёх цифр от 0 до 9. Поскольку это код, а не трёхзначное число, ноль может стоять на первом месте. Сначала рассмотрим разрешённые повторения, затем запретим их, поскольку от этого меняется число доступных цифр на следующих этапах.
При повторениях для каждой из трёх позиций есть 10 вариантов. Получаем 10 · 10 · 10 = 1000 кодов.
Без повторений первая цифра выбирается 10 способами, вторая — 9, третья — 8, так как две уже использованные цифры нельзя брать снова. Получаем 10 · 9 · 8 = 720.
Ответ: 1000 кодов с повторениями и 720 без повторений.
Ошибка — складывать числа вариантов этапов вместо умножения. Так поступают, когда путают необходимость выполнить оба этапа с выбором одного из альтернативных вариантов. Проверьте себя: если итог должен включать результат каждого этапа, обычно нужно перемножить количества.
Ошибка — перемножать числа, не проверив условия задачи. Можно упустить, что после некоторых выборов продолжение невозможно или число вариантов меняется. Для проверки спросите, известно ли количество продолжений для каждого предыдущего выбора; если нет, сначала разделите задачу на случаи.
Ошибка — считать число вариантов на всех этапах одинаковым, хотя предыдущий выбор ограничивает дальнейшие действия. Так бывает при запрете повторений: после каждой использованной цифры доступных цифр становится меньше. Пересчитайте допустимые варианты отдельно для каждой позиции и не переносите число с первого этапа на остальные без основания.
Ошибка — не учитывать, важен ли порядок и разрешены ли повторения. Если эти условия прочитаны невнимательно, неверным становится само число вариантов на отдельном этапе. Перед вычислениями выпишите ограничения задачи и проверьте, считаются ли два результата разными при перестановке элементов и можно ли выбирать один элемент снова.
Перед применением правила полезно уметь выделять возможные исходы и делить условие задачи на этапы. Это помогает не пропустить выбор и правильно определить число вариантов на каждом шаге. Правило произведения встречается в комбинаторных задачах, при подсчёте кодов, маршрутов и комплектов. Оно связано с правилом суммы: произведение используют, когда выполняют последовательные этапы, а сумму — когда выбирают один из взаимоисключающих вариантов.
Почему при последовательном выборе числа вариантов перемножают?
Каждому варианту первого этапа можно сопоставить все подходящие варианты второго. Поэтому общее число результатов складывается из одинаковых групп: по n результатов для каждого из m первых вариантов, то есть m · n.
Можно ли применять правило произведения, если число вариантов зависит от предыдущего выбора?
Да, если для каждого выбора можно установить, сколько вариантов остаётся на следующем этапе. Если это число меняется, нужно учитывать его отдельно для разных случаев или группировать случаи с одинаковым числом вариантов.
Как подсчитать варианты, если действие состоит из трёх или более этапов?
Выделите этапы по порядку и определите число допустимых вариантов на каждом из них. Затем перемножьте эти числа, проверяя, не меняются ли ограничения после предыдущих выборов.
Чем правило произведения отличается от правила суммы?
Правило произведения считают для действия, в котором выполняют все этапы: например, выбирают тему и оформление. Правило суммы применяют, когда нужно выбрать один из взаимоисключающих вариантов: например, тему проекта или способ оформления.
Как учитывать запрет на повторение элементов?
После каждого выбора пересчитайте количество вариантов для следующего этапа: уже выбранный элемент использовать нельзя. Например, для трёх цифр без повторений доступны 10, затем 9, затем 8 вариантов, поэтому число кодов равно 10 · 9 · 8.
§ 60. Правило произведения
