"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Правило произведения помогает быстро подсчитать число результатов, если выбор проходит в несколько последовательных этапов. Например, можно определить, сколько получится сочетаний блюда и напитка или способов распределить разные роли. Для двух этапов числа вариантов перемножают, а для нескольких — перемножают число продолжений на каждом шаге. Перед вычислением нужно проверить, одинаково ли число продолжений после каждого предыдущего выбора; если нет, задачу разбивают на случаи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правило произведения — способ подсчитать число вариантов, если выбор состоит из нескольких последовательных этапов. Например, сначала выбирают предмет, а затем способ его оформления. Правило позволяет не выписывать все результаты по одному, а вычислить их количество.
Этап выбора — один шаг составного выбора, на котором имеется определённое число вариантов. Это может быть выбор цифры, роли или одного элемента меню. Выделение этапов помогает понять, в каком порядке строится результат и сколько решений нужно принять.
Вариант составного выбора — итог, полученный после прохождения всех этапов. Один такой вариант включает все сделанные выборы, а не только один из них. Порядок этапов или выбранных элементов может иметь значение, если, например, назначаются разные роли.
Дерево возможностей — схема, где ветви показывают варианты на каждом этапе, а полный путь от начала до конца соответствует одному итогу. От каждой точки выбора отходят ветви возможных продолжений. Такая схема нужна, чтобы наглядно проследить варианты и не пропустить отдельные случаи.
Пусть первый этап можно выполнить m способами, а второй — n способами после каждого результата первого. Для каждого из m первых вариантов можно выбрать любой из n вариантов второго этапа, поэтому каждому первому выбору соответствуют n пар. Получается m одинаковых групп по n результатов, то есть всего m · n. Например, если первые варианты обозначить буквами, то к каждой букве можно присоединить каждую из n возможностей.
Перед умножением нужно проверить, действительно ли у каждого результата предыдущего шага одинаковое число продолжений. Если после одного выбора доступны, например, три продолжения, а после другого — только два, умножение общего числа первых выборов на одно число продолжений посчитает лишнее или не учтёт часть вариантов. Проверка состоит в том, чтобы мысленно или по схеме пройти каждую ветвь. Если число продолжений постоянно, правило произведения применимо напрямую.
Для нескольких этапов рассуждение повторяется: каждый полученный результат можно продолжить вариантами следующего шага. Если на каждом этапе число доступных вариантов не зависит от прежних выборов, количества вариантов перемножают. При m₁, m₂, …, mₖ вариантах на этапах итог равен m₁ · m₂ · … · mₖ. Например, так считают последовательности из нескольких символов, когда для каждого префикса последовательности остаётся одно и то же число допустимых символов.
Если число продолжений меняется, задачу разбивают на случаи. Для каждой ветви отдельно считают варианты последовательных шагов, перемножая их количества, а затем складывают результаты ветвей, потому что итог может относиться к одному из этих случаев. Например, выбор с условием может дать одну ветвь с двумя продолжениями и другую — с четырьмя. Тогда считают результаты каждой ветви отдельно и складывают, а не используют одно общее число продолжений.
Дерево возможностей помогает увидеть, какие результаты считаются разными. Каждому итоговому результату соответствует путь от начала дерева до конечной точки, поэтому можно проверить, не совпадают ли два пути по смыслу и учтены ли все допустимые продолжения. Если ветви охватывают все варианты и не дублируют друг друга, подсчёт получается полным. Когда этапы симметричны и ветвей много, дерево можно заменить правилом произведения.
| Ситуация | Число вариантов | Как считать |
|---|---|---|
| Два этапа: m вариантов и затем n вариантов для каждого первого выбора | m · n | Перемножить числа вариантов этапов |
| Несколько этапов: m₁, m₂, …, mₖ вариантов на каждом этапе | m₁ · m₂ · … · mₖ | Перемножить числа вариантов всех этапов |
| Число продолжений зависит от первого выбора | Сумма произведений по ветвям | Разделить на случаи, перемножить варианты внутри каждого случая и сложить результаты |
Сначала определи, сколько этапов содержит выбор и сколько вариантов доступно на каждом из них. Затем проверь, одинаково ли число продолжений для всех предыдущих выборов. Если оно меняется, используй подсчёт по ветвям, а не одну общую формулу.
В кафе предлагают 4 вида напитка и 3 вида десерта. Нужно выбрать одну пару «напиток и десерт», причём каждый напиток можно сочетать с любым десертом. Поскольку выбор проходит в два этапа, проверим, сколько продолжений есть после каждого первого выбора.
У каждого напитка получается по три пары с десертами. Ответ: 12 разных пар.
Составим трёхзначное число из цифр 1, 2, 3, 4, не повторяя цифры. Выбор цифр для сотен, десятков и единиц — три последовательных этапа. Число вариантов уменьшается после каждого шага, но одинаково для всех вариантов на данном шаге.
Каждое число учтено один раз: его цифры задают конкретный выбор на каждом из трёх этапов. Ответ: 24 трёхзначных числа.
В соревновании участвуют 5 команд, нужно выбрать капитана и его заместителя из разных команд. Сначала назначается капитан, а затем заместитель. Поскольку должности различаются, назначение команды A капитаном, а команды B заместителем не совпадает с обратным распределением ролей.
Пары ролей различаются по назначению, и ни одна команда не занимает обе должности. Ответ: 20 способов.
Умножать без проверки числа продолжений. Ошибка возникает, когда число вариантов следующего шага зависит от предыдущего выбора, но для всех случаев берут одно значение. Проверь каждую ветвь; если продолжений неодинаково, разбей подсчёт на случаи и сложи их результаты.
Складывать варианты последовательных этапов. Сложение кажется естественным, когда в задаче встречаются несколько чисел, но при прохождении обоих этапов каждый первый результат сочетается с каждым продолжением. Проверь, выбирается ли один из альтернативных случаев или выполняются оба шага подряд: в первом случае складывают, во втором обычно умножают.
Игнорировать ограничения задачи. Если разрешить повторения там, где они запрещены, число доступных вариантов на следующих шагах окажется завышенным. После каждого выбора заново определи, что осталось доступно, и проверь, какие условия уже выполнены.
Считать одинаковыми результаты с разными ролями. Так ошибаются, когда воспринимают капитана и заместителя как просто пару команд. Проверь, меняется ли смысл результата при перестановке элементов; если роли или места разные, перестановки нужно считать разными вариантами.
Для работы с правилом произведения нужно уметь умножать и понимать, что такое конечное множество вариантов. С правилом суммы и деревом возможностей оно образует удобный набор приёмов для задач, где выбор разбивается на этапы или случаи. Правило произведения применяют при изучении перестановок, размещений и сочетаний, а также в задачах на перебор и вероятность. Там оно помогает сначала посчитать число подходящих результатов, а затем сравнить его с общим числом исходов.
Почему при последовательном выборе варианты нужно перемножать?
Каждый результат первого этапа можно продолжить каждым допустимым результатом второго. Поэтому для каждого из m первых выборов получается n пар, всего m · n. Так считают все сочетания этапов, не перечисляя их по одному.
Когда правило произведения нельзя применить напрямую?
Нельзя сразу перемножать числа, если количество продолжений меняется в зависимости от предыдущего выбора. Сначала нужно разделить варианты на случаи или ветви и отдельно подсчитать результаты в каждой из них. Затем результаты ветвей складывают.
Что делать, если число вариантов следующего шага зависит от предыдущего выбора?
Построй дерево возможностей или разбей задачу на отдельные случаи. Внутри каждой ветви перемножь числа вариантов последовательных этапов, а затем сложи результаты ветвей. Проверь, что случаи не пересекаются и охватывают все варианты.
Как понять, важен ли порядок выбранных элементов?
Посмотри, меняется ли результат, если поменять элементы местами. Если элементы занимают разные места или выполняют разные роли, например капитан и заместитель, порядок важен. Если выбирают просто набор элементов без различия ролей, перестановка может не создавать новый результат.
Чем правило произведения отличается от правила суммы?
Произведение используют, когда нужно пройти несколько этапов: сначала один выбор, затем другой. Сложение используют, когда выбирают один из взаимоисключающих случаев. Если задача состоит из нескольких ветвей, внутри каждой ветви обычно перемножают варианты, а результаты ветвей складывают.
3. Правило произведения
