"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Правило суммы помогает подсчитать число вариантов, когда нужно выбрать один объект из нескольких взаимоисключающих групп. Если в первой группе m объектов, а во второй n, то всего доступно m + n вариантов — при условии, что группы не пересекаются. Если же один и тот же вариант попал в обе группы, простое сложение приведёт к повторному подсчёту. Поэтому главное — прежде чем складывать количества, проверить, что выбор относится ровно к одному из перечисленных способов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правило суммы — способ подсчёта, согласно которому число вариантов выбора из нескольких непересекающихся групп равно сумме чисел вариантов в каждой группе. Для двух групп это записывают так: N = m + n, где m и n — количества вариантов, а N — их общее количество. Правило нужно, чтобы быстро считать варианты, не перечисляя каждый из них по отдельности.
Взаимоисключающие варианты — такие варианты, которые не могут произойти одновременно в рамках одного выбора. Например, если выбирают ровно одну книгу, то выбор книги из раздела фантастики и выбор книги из раздела поэзии взаимоисключающие, если ни одна книга не включена в оба раздела. Это условие помогает понять, можно ли складывать количества без поправок.
Непересекающиеся множества — группы, у которых нет общих элементов; их пересечение пусто. Если обозначить группы A и B, то это записывают как A ∩ B = ∅. Такое обозначение нужно, чтобы точно выразить условие применения правила суммы и не посчитать один объект дважды.
Представим, что нужно выбрать ровно один предмет: либо из первой группы, либо из второй. Сначала можно выбрать любой из m предметов первой группы, а если этот способ не подошёл — один из n предметов второй. Каждый итоговый выбор относится только к одной группе, поэтому варианты образуют две отдельные части общего списка.
Чтобы получить общее число вариантов, достаточно сложить размеры этих частей: N = m + n. Причина в том, что сложение объединяет количества непересекающихся наборов: к каждому варианту первой группы добавляются все варианты второй, и повторов нет. Например, при 5 видах сока и 3 видах воды выбор одного напитка даёт 5 + 3 = 8 вариантов, если напитки в двух списках не дублируются.
Если групп больше двух, рассуждение не меняется. Пусть выбор можно сделать одним из k способов, причём группы вариантов попарно не пересекаются и содержат n₁, n₂, …, nₖ элементов. Тогда общее число вариантов равно N = n₁ + n₂ + … + nₖ. Сначала можно объединить первые две группы, затем добавить третью и продолжать, не нарушая условия отсутствия пересечений.
Главная причина возможной ошибки — неясное описание вариантов. Например, категории «учащиеся, занимающиеся спортом» и «учащиеся, посещающие секцию» могут включать одних и тех же людей. Если просто сложить числа в таких группах, общие элементы попадут в сумму дважды, потому что каждый из них учтён в каждой группе.
Когда пересечение есть, нужно сначала разобраться, сколько вариантов посчитано повторно. Для двух групп число элементов в объединении находят по формуле |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|: количество общих элементов вычитают один раз. Правило суммы в обычном виде — частный случай, когда |A ∩ B| = 0 и вычитать ничего не требуется.
Для проверки удобно задать себе вопрос: может ли один и тот же результат выбора одновременно оказаться в двух группах? Если ответ «нет», количества можно складывать. Если ответ «да», нужно разделить варианты на непересекающиеся части или учесть пересечение отдельно; иначе итог окажется завышенным.
| Ситуация | Что проверить | Как считать |
|---|---|---|
| Выбор одного объекта из двух групп | Группы не пересекаются | m + n |
| Выбор одного объекта из нескольких групп | Каждый объект относится только к одной группе | n₁ + n₂ + … + nₖ |
| Группы имеют общие объекты | Размер пересечения известен | |A| + |B| − |A ∩ B| |
| Выбор состоит из последовательных действий | Нужно выполнить каждый шаг | Обычно применяют правило произведения |
Сначала определите, что именно считается одним вариантом, затем проверьте, не встречается ли он сразу в нескольких строках или категориях. Если выбор делается «либо так, либо иначе» и группы не пересекаются, складывайте; если действия выполняются последовательно, рассмотрите правило произведения.
Задача. В школьной библиотеке для выставки можно выбрать одну книгу: либо из 7 книг о путешествиях, либо из 5 сборников рассказов. В списках нет одинаковых книг. Сколько способов выбрать книгу для выставки? Здесь нужно считать именно выбор одного предмета, а не набор из нескольких книг.
Определим группы вариантов. Первая группа — 7 книг о путешествиях, вторая — 5 сборников рассказов; каждый отдельный экземпляр считается одним вариантом.
Проверим условие для сложения. По условию списки не содержат одинаковых книг, а выбрать требуется только одну книгу, поэтому ни один результат не относится сразу к обеим группам.
Применим правило суммы. Количество вариантов равно сумме количеств в двух группах: 7 + 5 = 12. Сложение здесь учитывает все книги первой группы и добавляет к ним все книги второй без повторов.
Ответ: 12 способов. Для самопроверки можно представить, что книги сначала выписали в один общий список: в нём окажется 7 позиций, затем ещё 5 новых позиций. Если бы одна и та же книга присутствовала в обоих списках, пришлось бы убрать повтор или пересчитать группы, прежде чем складывать.
Складывать числа, не проверив пересечение. Тогда общие варианты учитываются несколько раз; ошибку допускают, потому что названия групп могут звучать как разные категории, хотя их состав пересекается. Проверьте на конкретном объекте, может ли он подходить сразу под оба описания.
Складывать количество шагов вместо количества вариантов. Например, число способов выбрать рубашку и число способов выбрать брюки нельзя просто сложить, если наряд должен состоять из обеих вещей. Здесь выполняются два последовательных выбора, поэтому обычно используют правило произведения; проверка — выяснить, нужен один вариант из альтернатив или комбинация результатов нескольких шагов.
Считать группы взаимоисключающими только по формулировке «или». Слово «или» само по себе не гарантирует отсутствия общих элементов, и из-за этого итог может быть завышен. Составьте короткий список или проверьте определение групп: если один объект подходит к обеим, простое сложение неприменимо.
Правило суммы входит в комбинаторику — раздел, который изучает способы подсчёта вариантов. Оно дополняет правило произведения: сумма подходит для выбора одного из альтернативных способов, а произведение — для последовательности действий, которые нужно выполнить вместе.
Формула объединения множеств расширяет правило суммы на случай пересекающихся групп: из суммы размеров вычитают размер пересечения. Та же идея встречается в задачах о вероятности событий, когда нужно найти вероятность наступления хотя бы одного из двух событий и учесть, могут ли они произойти одновременно.
Складывай количества, если выбирается один вариант из взаимоисключающих групп.
Для двух непересекающихся групп: N = m + n; для нескольких: N = n₁ + n₂ + … + nₖ.
Перед сложением проверь, не посчитается ли один вариант дважды.
Если группы пересекаются, вычти количество общих элементов или раздели варианты на непересекающиеся группы.
Если выбор включает несколько последовательных действий, проверь, не нужно ли применить правило произведения.
2. Правило суммы
