Правило произведения

Определения и обозначения

Правило произведения: если действие состоит из двух последовательных этапов, первый можно выполнить m способами, а для каждого его результата второй — n способами, то всё действие можно выполнить m·n способами. Например, если есть 3 варианта первого выбора и к каждому доступны 4 варианта второго, получится 3·4 способов. Это правило нужно, чтобы считать составные действия без перечисления каждого результата.

Этап выбора — часть составного действия, для которой отдельно подсчитывают количество возможных вариантов. Так, при составлении обеда выбор блюда и выбор напитка — два разных этапа. Разделение помогает не пропустить действие и понять, какие количества нужно перемножить или сложить.

Независимый выбор в задаче на подсчёт означает, что число вариантов следующего этапа одинаково при любом результате предыдущего этапа. Это условие позволяет применить правило произведения напрямую. Здесь речь не обязательно идёт о независимости событий в теории вероятностей: это разные понятия и контексты.

Дерево вариантов — схема, в которой ветви последовательно показывают варианты выбора на каждом этапе. Каждая конечная ветвь отражает полный способ выполнить действие. Такая схема нужна, чтобы наглядно проверить, не пропущены ли варианты и не учтён ли один способ дважды.

Как это устроено

Пусть первый этап можно выполнить m способами, а второй для каждого результата первого — n способами. К каждому из m вариантов первого этапа можно присоединить все n вариантов второго. Поэтому способы разбиваются на m групп, в каждой из которых n результатов, и общее число равно m·n. Например, если к каждому блюду подходит любой напиток из предложенных, каждому блюду соответствуют все сочетания с напитками.

Для нескольких этапов рассуждение повторяется шаг за шагом. Если после любого выбора на каждом этапе число доступных вариантов постоянно и равно n₁, n₂, …, nₖ, то к каждому частичному выбору добавляется одинаковое количество продолжений. Умножение количества вариантов на каждом шаге учитывает все сочетания предыдущих выборов с новыми. Поэтому общее число способов равно n₁·n₂·…·nₖ.

Иногда количество продолжений зависит от того, что выбрали раньше. Тогда нельзя считать, будто каждому результату первого этапа соответствует одинаковое число вариантов второго. Сначала сгруппируй способы по результатам первого этапа, внутри каждой группы посчитай все продолжения, а затем сложи размеры групп. Так каждый способ попадёт в нужную группу, даже если в них разное количество продолжений.

Дерево вариантов помогает увидеть структуру подсчёта. От начальной точки проводят ветви для первого выбора, а от каждой ветви — варианты следующего этапа. В результате каждый путь от начала до конечной ветви описывает один полный способ, поэтому число конечных ветвей совпадает с общим числом способов. Если дерево небольшое, по нему удобно проверить формулу и обнаружить пропущенные или повторённые варианты.

Перед подсчётом нужно точно определить, что считать одним итоговым способом. Затем действие разделяют на этапы и проверяют, что каждый полный результат соответствует одной последовательности выборов. Если разные последовательности приводят к одному и тому же результату, или одна последовательность записана несколько раз, простой подсчёт ветвей может дать неверный ответ. Чёткое описание результата помогает выбрать подходящее правило.

Как подсчитывать число способов

Сначала определи, выполняются ли этапы последовательно или нужно выбрать один вариант из альтернатив. Затем проверь постоянство числа продолжений: от этого зависит, можно ли сразу перемножать количества. Если есть сомнения в полноте подсчёта, сопоставь каждый результат с отдельной группой или конечной ветвью дерева.

Разбор задач

Задача 1. В столовой предлагают 3 первых блюда и 4 напитка. Сколько разных обедов можно составить, выбрав по одному блюду и напитку? Один обед определяется парой «блюдо — напиток», поэтому здесь есть два последовательных этапа выбора. К любому из блюд можно выбрать любой из четырёх напитков.

1. На первом этапе выбираем первое блюдо: для этого есть 3 варианта.
2. Для каждого блюда выбираем напиток: на втором этапе каждый раз доступны 4 варианта.
3. Применяем правило произведения: 3·4 = 12, потому что каждому блюду соответствуют четыре обеда с разными напитками.

Ответ: 12 разных обедов. Здесь не нужно складывать 3 и 4: в обед входят и блюдо, и напиток.

Задача 2. Номер состоит из двух цифр: первая выбирается из 4 возможных, вторая — из 5 возможных. Сколько номеров можно составить, если цифры могут повторяться? Номер задаётся упорядоченной парой цифр, поэтому важно, какая цифра стоит на каждой позиции. Условие о повторении означает, что после выбора первой цифры варианты второй позиции не сокращаются.

1. Для первой позиции есть 4 варианта.
2. Для второй позиции при каждом выборе первой остаются все 5 вариантов, так как цифры могут повторяться.
3. Перемножаем количества: 4·5 = 20.

Ответ: 20 номеров. Если бы повторение было запрещено, число вариантов второй позиции следовало бы проверить заново: оно могло бы уменьшиться.

Задача 3. Для поездки выбирают один из 3 маршрутов. На первом маршруте есть 4 варианта продолжения, на втором — 3, на третьем — 5. Сколько всего способов поездки? Продолжение выбирают после маршрута, но число вариантов зависит от того, какой маршрут выбран. Поэтому общий подсчёт нужно разделить на три группы.

1. С первым маршрутом получается 4 способа поездки.
2. Со вторым маршрутом получается 3 способа, а с третьим — 5.
3. Складываем количества в группах: 4 + 3 + 5 = 12.

Ответ: 12 способов поездки. Умножать 3 на одно число продолжений нельзя, потому что такого общего числа для всех маршрутов нет.

Типичные ошибки

Складывают варианты двух последовательных этапов. Так делают, потому что видят два числа и не различают совместные действия и альтернативы. Но если нужно выполнить оба этапа, следует умножать; сложение подходит для выбора одного варианта из разных групп. Проверь себя вопросом: в одном полном результате присутствуют оба выбора или только один из них?

Перемножают количества, не проверив зависимость. Ошибка возникает, когда число вариантов второго этапа считают одинаковым для всех результатов первого, хотя это не так. При различном количестве продолжений нужно разбить способы на группы и сложить их. Проверка проста: перечисли возможные результаты первого этапа и сравни число доступных продолжений в каждом случае.

Не учитывают ограничение, например запрет повторения цифр. Ученик может автоматически перенести число вариантов первого этапа на следующий, хотя после выбора часть вариантов уже недоступна. Тогда произведение использует неверные множители. Перед каждым шагом перечитай условие и спроси, что осталось разрешено после предыдущего выбора.

Один способ считают несколько раз или пропускают варианты. Такое случается, если этапы выделены неясно или один результат можно описать несколькими последовательностями выбора. Сформулируй, чем отличаются два итоговых способа, и проверь, что каждому соответствует ровно одна последовательность. Для небольшого числа вариантов построй дерево и сверь конечные ветви.

Связь с другими темами

Для применения правила произведения нужно уметь перечислять конечные варианты и отличать последовательное выполнение действий от выбора одного из нескольких вариантов. Это помогает правильно решить, где умножать, а где складывать. Правило также служит основой для подсчёта перестановок, размещений и сочетаний: в таких задачах важно учитывать порядок и ограничения на выбор.

Подсчёт числа исходов нужен и в задачах на вероятность, когда все подходящие случаи можно перечислить или сосчитать. Правило произведения помогает находить общее число составных исходов, но само по себе не утверждает независимость событий. Для вероятностей нужно отдельно учитывать условия задачи и вероятности исходов.

Что запомнить

• Для последовательного выполнения этапов число способов часто находят умножением.
• При двух этапах: m вариантов первого и n вариантов второго для каждого первого дают m·n способов.
• Для нескольких этапов перемножают числа вариантов на каждом этапе.
• Перед умножением проверь, одинаково ли число вариантов последующего выбора при разных предыдущих результатах.
• Если варианты последующего выбора различаются, разбей подсчёт на группы и сложи результаты.
• Каждый полный способ должен быть учтён ровно один раз.