"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Перестановка — это расположение всех заданных элементов в определённом порядке. Такие подсчёты нужны, когда важно узнать, сколькими способами можно расставить книги, людей или другие предметы. Для n различных элементов число перестановок равно Pₙ = n!, где n! — произведение чисел от 1 до n. Если некоторые элементы должны стоять рядом, их удобно временно объединить в один блок, а затем отдельно учесть внутренний порядок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перестановка из n различных элементов — упорядоченное расположение всех этих элементов, причём каждый встречается ровно один раз. Расположения считаются разными, если хотя бы один элемент занимает другое место. Это определение помогает сразу понять, подходит ли задача к теме: нужно использовать весь набор, а не только его часть. Например, запись ACB задаёт порядок трёх элементов A, B и C.
Число перестановок обозначают Pₙ. Оно показывает, сколькими способами можно упорядочить все n заданных элементов. Буква P напоминает о перестановках, а индекс n указывает размер набора. Такое обозначение удобно, когда требуется не перечислить все порядки, а найти их количество.
Факториал числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n, его записывают n!. Например, запись 5! означает 1 · 2 · 3 · 4 · 5, а не отдельное действие с числом 5. Факториал кратко обозначает длинное произведение и позволяет записывать число перестановок одной формулой. По определению также принимают, что 0! = 1.
Представим, что нужно занять n мест всеми элементами набора. На первое место можно поставить любой из n элементов, потому что пока ограничений нет. После этого выбранный элемент уже использован, поэтому на второе место остаётся n − 1 вариант. На каждом следующем шаге один элемент расходуется, и число доступных вариантов уменьшается на единицу.
Чтобы получить общее число способов, перемножаем количество вариантов на каждом шаге. Это правило умножения: для каждого выбора на первом месте можно сделать любой допустимый выбор на втором, и так далее. Получается n · (n − 1) · … · 2 · 1, поэтому Pₙ = n!. Последний множитель 1 соответствует единственному элементу, который остаётся для последнего места.
Факториал — краткая запись произведения последовательных натуральных чисел. По определению 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, а 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Можно вычислять последовательно: 5! = 5 · 4!, а 4! = 4 · 3!. Так проще не пропустить множитель и проверить результат.
В перестановке важны места, поэтому одинаковый набор элементов в разном порядке даёт разные варианты. Например, ABC и BAC содержат те же буквы, но в первом случае A стоит перед B, а во втором B — перед A. Если бы порядок не имел значения, это были бы один и тот же выбор, но перестановки описывают именно упорядочивание. Поэтому при подсчёте учитываются все возможные позиции каждого элемента.
Проверим рассуждение на трёх различных предметах — например, чашках A, B и C. На первое место можно поставить любую чашку, на второе — одну из двух оставшихся, а на третье останется последняя. Получаем 3 · 2 · 1 = 3! = 6 порядков: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Перечень подтверждает формулу и показывает, почему каждый порядок нужно считать отдельно.
| Что рассматриваем | Обозначение или формула | Смысл |
|---|---|---|
| Число элементов | n | Сколько различных элементов нужно расположить |
| Число перестановок | Pₙ | Количество способов упорядочить все n элементов |
| Вычисление числа перестановок | Pₙ = n! = 1 · 2 · … · n | Произведение числа вариантов для каждого места |
| Частный случай: перестановка пустого набора | 0! = 1 | Одному пустому набору соответствует один способ ничего не расположить |
Сначала определите, сколько элементов участвует в задаче и требуется ли расположить их все. Если порядок важен, используйте Pₙ = n!, подставив число элементов вместо n. Для пустого набора применяется отдельное соглашение 0! = 1.
Сколькими способами можно расставить в ряд 4 различные книги? Требуется расположить все книги, а порядок на полке имеет значение: перестановка двух книг меняет результат. Значит, считаем перестановки четырёх элементов.
Ответ: 24 способа.
Сколькими способами можно расположить в ряд 6 учеников, если два заданных ученика должны стоять рядом? Сначала объединим этих двоих в один блок: теперь нужно расставить этот блок и ещё четырёх учеников. После этого отдельно посчитаем, в каком порядке могут стоять двое внутри блока.
Ответ: 240 способов.
Сколькими способами можно расставить 7 различных книг, если три заданные книги должны стоять рядом, а две другие — не рядом? Сначала обеспечим соседство трёх книг, считая их одним блоком. Затем из полученных расстановок исключим те, где две другие заданные книги тоже стоят рядом.
Ответ: 432 способа.
Первая ошибка — считать, что порядок не важен, и объединять ABC и BAC в один вариант. Так рассуждают, когда воспринимают задачу как выбор набора, хотя нужно расставить элементы по местам. Проверьте себя: если поменять два элемента местами, изменится ли искомое расположение? Если да, такие варианты нужно считать разными.
Вторая ошибка — в произведении остановиться на n − 1 или забыть множитель 1. Обычно внимание сосредотачивается на первых выборах, а последний шаг кажется несущественным. Но формула следует из выбора для каждого места, включая последнее, где остаётся один вариант. Проверка: выпишите по одному множителю на каждое место.
Третья ошибка — путать n! с n · n или другим произведением с повторяющимися множителями. Такое случается из-за того, что факториал принимают за отдельное действие над числом. На самом деле n! включает все натуральные числа от 1 до n: например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4. Проверяйте запись, начиная с единицы и заканчивая n.
Четвёртая ошибка возникает в задачах о соседстве: элементы объединяют в блок, но не учитывают, что внутри блока возможны разные порядки. Например, два ученика могут стоять как AB или BA, поэтому вариантов внутри пары два. После подсчёта блоков спросите себя, можно ли менять местами элементы внутри каждого блока. Если можно, умножьте результат на число таких внутренних порядков.
Для понимания перестановок нужно знать правило умножения: если последовательные выборы имеют несколько вариантов, общее число способов находится умножением этих чисел. Также полезно понимать, что такое упорядоченный набор, в котором важны места элементов. Перестановки станут основой для изучения размещений и сочетаний: эти понятия тоже считают варианты, но отличаются тем, выбираются ли все элементы и важен ли порядок. Такие подсчёты встречаются в комбинаторных задачах и при нахождении вероятностей.
Что именно называется перестановкой?
Перестановка из n различных элементов — это упорядоченное расположение всех этих элементов, причём каждый используется ровно один раз. Например, для элементов A, B и C перестановками будут ABC и BCA.
Почему в перестановках порядок элементов имеет значение?
Потому что перестановка описывает не только состав, но и места элементов. Если хотя бы два элемента поменялись местами, получилось другое расположение: ABC и BAC считаются разными.
Почему число перестановок равно n!, а не n^n?
После выбора элемента на первое место для второго остаётся только n − 1 вариант, затем вариантов становится ещё меньше. Поэтому перемножаются n, n − 1, …, 1, а не n одинаковых множителей n; кроме того, повторять элементы в перестановке нельзя.
Чему равен факториал нуля и зачем принимают, что 0! = 1?
По определению 0! = 1. Это соглашение согласуется с формулой n! = n · (n − 1)! и позволяет применять формулы для перестановок без отдельного исключения пустого набора.
Как считать перестановки, если некоторые элементы должны стоять рядом?
Элементы, которые должны находиться рядом, временно объединяют в один блок. Сначала считают способы расставить блоки и остальные элементы, затем умножают на число вариантов внутреннего порядка элементов блока.
Перестановки
