1.4. Перестановки

Определения и обозначения

Перестановка — размещение всех данных элементов в определённом порядке, при котором каждый элемент используется ровно один раз. Например, ABC и BAC — разные перестановки одних и тех же букв. Это понятие нужно, когда требуется перечислить все возможные порядки объектов.

Число перестановок Pₙ — количество различных порядков, в которые можно расставить n различных элементов. Индекс n показывает, сколько элементов участвует в расстановке. Зная Pₙ, можно сразу ответить на вопрос о числе вариантов, не выписывая их по одному.

Факториал числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначаемое n!: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Факториал удобно использовать как короткую запись длинного произведения. Именно через него выражается число перестановок.

Нулевой факториал — специальное соглашение 0! = 1. Оно нужно, чтобы формула перестановок и рекуррентное правило сохранялись и для случая отсутствия элементов. Поэтому нулевой факториал не вычисляют как обычное произведение, а принимают равным единице.

Как это устроено

Представим, что нужно расставить n различных элементов по местам. На первое место можно выбрать любой из n элементов, потому что пока ни один не использован. После этого на второе место остаётся n − 1 вариантов, затем n − 2 и так далее, пока для последнего места не останется единственный элемент.

По правилу произведения число всех способов равно n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 2 · 1. Такое произведение по определению является факториалом n!. Поэтому получают формулу Pₙ = n!. Она учитывает каждый последовательный выбор, а не только выбор самих элементов.

Перестановки с одним и тем же набором элементов всё равно могут быть разными. Например, ABC и CBA содержат буквы A, B и C, но буквы стоят в разном порядке. Если порядок имеет значение, эти варианты нельзя объединять в один.

Небольшие факториалы считают последовательным умножением: 3! = 1 · 2 · 3 = 6, а 4! = 24. Для быстрого перехода к следующему числу используют формулу n! = n · (n − 1)!. Например, 5! = 5 · 4! = 5 · 24 = 120, поэтому не нужно заново перемножать все числа.

Для одного элемента возможна только одна расстановка: сам элемент занимает единственное место, поэтому 1! = 1. Для нуля элементов принимают 0! = 1, поскольку существует один пустой способ ничего не расставлять. Кроме того, это соглашение сохраняет равенство 1! = 1 · 0!.

Число перестановок и значения факториала

В таблице можно найти готовое значение факториала для небольших n или продолжить вычисление по рекуррентной формуле. В строке n записан общий случай для любого количества различных элементов. Многоточие в примерах означает, что перечислены не все перестановки.

Разбор задач

Задача 1. Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

Книги различны, используются все четыре, а порядок на полке имеет значение. Значит, речь идёт о перестановках четырёх элементов.

1. Для четырёх книг применяем формулу P₄ = 4!.
2. Вычисляем факториал: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Ответ: 24 способа.

Задача 2. Известно, что число перестановок некоторого количества элементов равно 120. Сколько элементов было расставлено?

Нужно найти n из равенства n! = 120. Сравним число 120 со знакомыми факториалами, начиная с небольших значений.

1. 4! = 24, а 5! = 5 · 4! = 5 · 24 = 120.
2. Следовательно, заданное число совпадает с 5!, поэтому n = 5.

Ответ: 5 элементов.

Задача 3. Сколькими способами можно расставить 6 различных книг, если одна выбранная книга должна стоять первой?

Первая книга уже зафиксирована, поэтому выбирать её место не нужно. Остаётся расставить пять других книг на пяти свободных местах.

1. Число вариантов для оставшихся книг равно P₅ = 5!.
2. Вычисляем: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Ответ: 120 способов.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать одинаковыми варианты ABC и BAC, потому что набор букв совпадает. Так забывают, что перестановка определяется прежде всего порядком. Проверьте себя: если объекты поменяли местами, запишите оба порядка и сравните позиции.

Ошибка 2. Применять n! к набору с повторяющимися элементами без дополнительных действий. Перестановки одинаковых объектов тогда пересчитываются несколько раз. Уточните, различимы ли элементы, и при повторах используйте специальный учёт повторений.

Ошибка 3. При переходе от (n − 1)! к n! забывать множитель n. Из-за этого получают слишком маленький результат. Проверка проста: раскройте формулу n! = n · (n − 1)! и убедитесь, что новый множитель присутствует.

Ошибка 4. Считать, что 0! = 0, по аналогии с умножением на ноль. Нулевой факториал задан специальным соглашением и равен 1. Проверьте его через равенство 1! = 1 · 0!: только значение 0! = 1 сохраняет формулу.

Связь с другими темами

Для перестановок нужно знать правило произведения: если выборы выполняются последовательно, количества вариантов перемножаются. Также важно уверенно считать произведения натуральных чисел.

Перестановки входят в комбинаторный подсчёт и служат основой для дальнейшего изучения размещений и сочетаний. Отличие этих понятий связано с тем, используются ли все элементы и учитывается ли порядок.

Факториалы встречаются в формулах бинома Ньютона, задачах на вероятность и статистику. Поэтому навык работы с n! пригодится далеко за пределами этой темы.

Что запомнить

• Перестановка использует все n различных элементов ровно по одному разу.
• Разный порядок элементов означает разные перестановки.
• Число перестановок n элементов равно Pₙ = n!.
• Факториал вычисляется по формуле n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
• Для любого натурального n справедливо n! = n · (n − 1)!.
• По определению 0! = 1.