"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Размещение — это упорядоченный набор из нескольких различных элементов, выбранных из общего набора. Оно помогает считать варианты, когда важны и состав выбранных элементов, и порядок их расположения: например, при назначении ролей или составлении кода. Для размещений без повторений число вариантов равно Aₙᵏ = n!/(n−k)!, а при разрешённых повторениях — nᵏ. Главное — определить, важен ли порядок и можно ли использовать элемент несколько раз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение из n элементов по k — это упорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из n. Упорядоченный означает, что у элементов есть определённые места, поэтому перестановка выбранных элементов обычно даёт новый вариант. Такое понятие нужно, когда важны и состав выбора, и порядок его расположения.
Число размещений обозначают Aₙᵏ. Оно показывает, сколько всего разных упорядоченных наборов длины k можно составить из n элементов без повторений. Этот символ позволяет коротко записывать результат подсчёта и формулу.
Размещение с повторениями — это упорядоченный набор длины k, составленный из n элементов, причём один и тот же элемент может встречаться несколько раз. Например, 727 — последовательность с повторением цифры 7. Такое понятие применяют к кодам и другим наборам, где повторный выбор разрешён.
Факториал числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 · 3 · … · n. По соглашению 0! = 1, чтобы формулы подсчёта сохраняли общий вид. Факториалы помогают заменить длинное произведение компактной дробью.
Размещение без повторений строят по местам, начиная с первого. На первое место можно поставить любой из n элементов, а после этого один элемент уже использован, поэтому для второго места остаётся n−1 вариант. Далее доступных элементов становится ещё меньше: n−2, n−3 и так далее.
По правилу умножения число вариантов равно произведению возможностей для всех мест: Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1). В произведении ровно k множителей, потому что нужно заполнить k мест. Последний множитель получается n−k+1: после выбора k−1 элементов остаётся именно столько доступных элементов.
То же произведение можно записать через факториалы: Aₙᵏ = n!/(n−k)!. В числителе находятся множители от 1 до n, а деление на (n−k)! убирает лишнюю «хвостовую» часть произведения. Поэтому факториальная формула удобна для вычислений и преобразований.
Если повторения разрешены, после заполнения одного места выбранный элемент не исключается из дальнейшего выбора. На каждом из k мест снова доступны все n элементов, поэтому по правилу умножения получается n · n · … · n = nᵏ. Например, при составлении трёхзначного кода каждая цифра выбирается независимо от предыдущих.
Порядок имеет значение, потому что места или роли различаются. Наборы ABC и BAC содержат одни и те же буквы, но стоят они по-разному, значит, это два размещения. Если порядок несущественен, сначала можно выбрать набор из k элементов, а затем учитывать все возможные упорядочивания выбранных элементов; такой подход приводит уже к сочетаниям.
| Ситуация | Повторения разрешены | Повторения запрещены |
|---|---|---|
| Число вариантов на каждом месте | Всегда n | n, затем n−1, n−2 и далее |
| Число вариантов для k мест | n · n · … · n, k множителей | n(n−1)…(n−k+1) |
| Формула общего числа | nᵏ | Aₙᵏ = n!/(n−k)! |
| Пример условия | Цифры кода могут повторяться | Выбирают разных людей на должности |
Сначала определите, сколько мест нужно заполнить, и обозначьте это число через k. Затем проверьте, возвращается ли выбранный элемент в список доступных вариантов.
Если возвращается, используйте nᵏ; если нет, число вариантов на следующих местах уменьшается, и нужна формула Aₙᵏ.
1. Сколькими способами можно назначить старосту и его заместителя в классе из 20 учеников? Роли различаются, поэтому выбор одного и того же ученика на разные должности даёт разные назначения. Один ученик не может одновременно занять обе должности.
Ответ: 380 способов.
2. Сколько трёхзначных кодов можно составить из цифр 0–9, если цифры могут повторяться? Код рассматривается как последовательность из трёх мест, а начальная цифра 0 допустима, поскольку это код, а не число. На каждом месте доступны все 10 цифр.
Ответ: 1000 кодов.
3. Сколько существует четырёхбуквенных последовательностей из 7 разных букв без повторений? Порядок букв различает последовательности, а использованную букву нельзя брать снова. Поэтому число вариантов на каждом следующем месте уменьшается.
Ответ: 840 последовательностей.
Ошибка — считать ABC и BAC одинаковыми. Её допускают, потому что состав букв совпадает, но в размещении учитываются места; проверяйте, изменился ли порядок элементов.
Ошибка — применять Aₙᵏ, когда повторы разрешены. В таком случае выбранный элемент не исключается, поэтому на каждом месте остаётся n вариантов и нужна формула nᵏ.
Ошибка — брать k одинаковых множителей n при запрещённых повторах. После каждого выбора доступных элементов становится меньше, поэтому выпишите варианты по местам: n, n−1, n−2.
Ошибка — путать n и k. Число n обозначает весь исходный набор, а k — количество мест; проверьте, что 0 ≤ k ≤ n и в знаменателе стоит (n−k)!.
Для размещений нужно знать правило умножения, понятие упорядоченного набора и вычисление факториалов. Эти знания объясняют, почему варианты для отдельных мест перемножаются и как появляется факториальная запись.
Размещения применяются в задачах о кодировании, распределении разных ролей и подсчёте последовательностей. Они связаны с перестановками: при k = n размещение превращается в перестановку, а с сочетаниями — через различие между выбором с порядком и без порядка.
Чем размещение отличается от сочетания?
В размещении порядок выбранных элементов важен, а в сочетании — нет. Например, ABC и BAC являются разными размещениями, но одним и тем же сочетанием из букв A, B и C.
Почему порядок элементов в размещении важен?
Размещение описывает не только выбор элементов, но и их расстановку по местам. Поэтому изменение порядка обычно создаёт новый вариант: староста и заместитель — не то же самое, что заместитель и староста.
Как понять, разрешены ли в задаче повторения?
Нужно проверить условие: может ли один и тот же элемент занимать несколько мест. В кодах и последовательностях повторы часто разрешены, а при выборе разных людей или букв без повторения каждый выбранный элемент используется только один раз.
Почему формула размещений содержит k множителей?
Размещение занимает k мест, и каждый множитель описывает число вариантов для очередного места. При выборе без повторений это n, n−1, n−2 и так далее, всего ровно k множителей.
Что получится, если в размещении без повторений выбрать все n элементов?
Получится перестановка всех n элементов. Формула принимает вид Aₙⁿ = n!, потому что нужно расставить весь набор по местам.
1.5. Размещения
