"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Размещение — это упорядоченный выбор нескольких элементов из имеющихся. Оно помогает считать варианты расстановки книг, составления кодов, назначения людей на разные должности и других действий, где важен порядок. При выборе без повторений каждый элемент можно использовать только один раз, а при выборе с повторениями — несколько раз. Главные формулы: Aₙᵏ = n!/(n−k)! и Āₙᵏ = nᵏ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение без повторений — упорядоченный выбор k различных элементов из n элементов. Например, из пяти книг можно выбрать две и поставить их на первое и второе места. Это понятие нужно, когда важны и состав выбранных элементов, и их порядок.
Число размещений — количество всех возможных размещений из n элементов по k. Оно показывает, сколько разных упорядоченных вариантов можно получить при заданных n и k. Такое число требуется найти в задачах на расстановки, назначения и составление номеров.
Размещение с повторениями — упорядоченный выбор k элементов из n, при котором один и тот же элемент может встречаться несколько раз. Например, в коде цифра 5 может стоять сразу на нескольких местах. Это определение используют для кодов, паролей и других последовательностей с разрешёнными повторами.
Числа размещений без повторений и с повторениями обозначают соответственно Aₙᵏ и Āₙᵏ. Нижний индекс n указывает, сколько всего элементов доступно, а верхний k — сколько мест нужно заполнить. По обозначению можно понять, какую величину требуется вычислить.
В размещении порядок важен, потому что места различаются. Если одну книгу поставить первой, а другую второй, получится не тот же вариант, что при обратной расстановке. Поэтому выбор книг без указания мест был бы сочетанием, а выбор с расстановкой по местам — размещением.
Чтобы посчитать размещения без повторений, заполняют места по очереди. На первое место можно поставить любой из n элементов, значит, есть n вариантов. После этого один элемент уже использован, поэтому на второе место остаётся n−1 вариант, затем n−2 и так далее.
Если нужно заполнить k мест, последним множителем будет n−k+1: всего сделано k выборов, и количество доступных элементов уменьшилось на k−1. По правилу произведения число вариантов равно Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1). Это произведение можно записать короче через факториал: Aₙᵏ = n!/(n−k)!, поскольку сокращаются множители от 1 до n−k.
При разрешённых повторениях выбранный элемент не исчезает из списка доступных. Поэтому для каждого из k мест сохраняются одни и те же n вариантов, и получается произведение n · n · … · n = nᵏ. Если k = n и повторения запрещены, используются все элементы, а формула становится Aₙⁿ = n!/(n−n)! = n!, то есть формулой числа перестановок.
В таблице сначала определите, можно ли использовать один элемент несколько раз, а затем проверьте, имеет ли значение порядок. После этого подходящая строка подсказывает формулу и допустимые значения k.
| Свойство | Размещения без повторений | Размещения с повторениями |
|---|---|---|
| Что выбирают | k различных элементов из n | k элементов из n с возможностью повторения |
| Учитывается ли порядок | Да | Да |
| Условие на k | 1 ≤ k ≤ n | Любое натуральное k |
| Формула числа размещений | Aₙᵏ = n!/(n−k)! | Āₙᵏ = nᵏ |
| Частный случай | При k = n: Aₙⁿ = n! | При k = 1: Āₙ¹ = n |
Условие: сколькими способами можно выбрать и расставить на двух местах 5 различных книг? Книгу нельзя поставить на оба места, значит, повторения запрещены. Поскольку места первое и второе различаются, перед нами размещение без повторений.
Ответ: 20 способов. Если бы требовалось только выбрать две книги без расстановки, порядок не учитывался бы, и задача имела бы другой тип.
Условие: сколько существует четырёхзначных кодов из цифр 0–9, если цифры могут повторяться? Код не обязан быть числом, поэтому ноль разрешён и на первом месте. Повторения разрешены, значит, используем размещения с повторениями.
Ответ: 10 000 кодов. Например, код 0055 допустим, потому что одинаковые цифры могут встречаться несколько раз.
Условие: сколько существует четырёхзначных чисел без повторяющихся цифр? В отличие от кода, число не может начинаться с нуля. Поэтому первый выбор считают отдельно, а затем применяют последовательный подсчёт без повторений.
Ответ: 4536 четырёхзначных чисел. Формула A₁₀⁴ напрямую здесь не подходит, потому что она разрешила бы ноль на первом месте.
Считать размещение сочетанием. Ошибка возникает, когда смотрят только на выбранные элементы и забывают о местах. Проверьте: меняется ли результат при перестановке элементов; если да, порядок учитывать нужно.
Применять nᵏ при запрете повторений. Так делают, потому что для каждого места механически берут n вариантов. После каждого выбора вычёркивайте использованный элемент: если число вариантов уменьшается, нужна формула Aₙᵏ.
Использовать Aₙᵏ при разрешённых повторениях. Причина — смешение двух похожих формул. Проверьте, может ли один элемент занимать несколько мест: если может, на каждом месте остаётся n вариантов и используется nᵏ.
Забывать условие k ≤ n или ошибаться в числе множителей. Без повторений нельзя выбрать больше различных элементов, чем есть в наборе. Сосчитайте множители от n до n−k+1: их должно быть ровно k.
Для размещений нужно знать правило произведения: независимые последовательные выборы перемножаются. Также используется факториал: n! — произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Перестановки связаны с размещениями напрямую: перестановка получается при k = n, когда расставляют все элементы. Размещения встречаются в задачах на вероятность, коды, номера и выбор людей на разные должности, потому что во всех этих ситуациях порядок может менять результат.
Чем размещение отличается от сочетания?
В размещении порядок выбранных элементов имеет значение: варианты АБ и БА различны. В сочетании порядок не учитывается, поэтому эти варианты считают одним выбором.
Почему в формуле размещений без повторений число вариантов уменьшается?
После выбора элемента он больше не может использоваться, поэтому на следующем месте вариантов становится на один меньше. Так появляются множители n, n−1, n−2 и другие.
Когда нужно использовать n^k, а когда A_n^k?
Формулу nᵏ применяют, когда повторения разрешены и для каждого места доступны все n элементов. Формулу Aₙᵏ используют при запрете повторений, когда число доступных элементов уменьшается.
Можно ли считать размещением выбор людей на одинаковые должности?
Если должности одинаковые, порядок людей не создаёт нового варианта, поэтому это не размещение, а простой выбор. Если должности различаются, например директор и секретарь, назначение можно считать размещением.
Почему перестановка является частным случаем размещения?
При перестановке из n элементов выбирают все n элементов и расставляют их по порядку. Это размещение без повторений при k = n, поэтому Aₙⁿ = n!.
13.4. Размещения
