"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Размещение — это упорядоченный выбор нескольких различных элементов из имеющегося набора. Оно помогает считать варианты, когда важны и выбранные элементы, и их порядок: например, кто станет старостой, а кто заместителем, или кому достанутся медали. Число размещений из n элементов по k вычисляют по формуле Aₙᵏ = n!/(n−k)!. В формуле n — общее число элементов, а k — сколько из них выбирают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение из n элементов по k — это упорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из n данных. Упорядоченный означает, что у каждого элемента есть своё место: наборы «А, Б» и «Б, А» считаются разными. Такое понятие нужно, когда выбирают не просто участников, а распределяют между ними роли или места.
Число размещений из n элементов по k обозначают Aₙᵏ. Эта запись показывает, сколько разных упорядоченных наборов можно составить при заданных n и k. Зная число вариантов, можно отвечать на вопросы о способах распределить должности, места или позиции в последовательности.
Факториал натурального числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n; его обозначают n!. Например, 4! = 1·2·3·4 = 24. Факториал позволяет кратко записывать длинные произведения и выводить формулу для числа размещений. По соглашению 0! = 1, поэтому формула остаётся удобной и в предельных случаях.
Чтобы составить размещение, выбирают элементы по одному: сначала элемент на первое место, потом на второе и так далее. Для первого места доступны все n элементов. Когда один уже выбран, поставить его ещё раз нельзя, поэтому для второго места остаётся n−1 вариант, для третьего — n−2 и так далее.
По правилу умножения число вариантов последовательного выбора равно произведению числа вариантов на каждом шаге. Поэтому для k мест получается n(n−1)…(n−k+1). Порядок важен, потому что выбор для разных мест образует разные наборы, а запрет повторений объясняет, почему множители уменьшаются.
Это произведение можно переписать через факториалы: Aₙᵏ = n!/(n−k)!. В числителе стоят множители от 1 до n, а в знаменателе — от 1 до n−k. После сокращения остаются n, n−1 и следующие множители вплоть до n−k+1, то есть ровно k множителей, нужных для размещений.
Если k = n, выбирают и располагают все элементы. Тогда Aₙⁿ = n!, и размещение становится перестановкой всех n элементов. Если же k = 1, выбирают только один элемент, поэтому вариантов ровно n: Aₙ¹ = n.
Два набора с одинаковыми элементами, но в разном порядке, считаются разными размещениями: например, «1, 2, 3» и «3, 2, 1». Наборы с разным составом тоже различаются, даже если их элементы стоят в одинаковых позициях. Таким образом, размещения различают и по составу, и по порядку.
| Ситуация или свойство | Число размещений |
|---|---|
| Общий случай, 1 ≤ k ≤ n | Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1) = n!/(n−k)! |
| Выбирают один элемент, k = 1 | Aₙ¹ = n |
| Располагают все элементы, k = n | Aₙⁿ = n! |
| Порядок выбранных элементов учитывается | Перестановка тех же элементов даёт другое размещение |
| Повторение элементов не допускается | Каждый элемент можно выбрать не более одного раза |
Сначала определи, сколько всего доступных элементов и сколько позиций нужно заполнить: это n и k. Затем проверь, важен ли порядок и допускаются ли повторы. Если порядок важен, а повторы запрещены, применяй формулу размещений.
Из 7 учеников нужно выбрать старосту и его заместителя. Сколько способов это сделать?
Всего доступно 7 учеников, значит, n = 7. Нужно занять две разные должности, поэтому k = 2.
Порядок выбора важен: назначить ученика старостой, а другого заместителем — не то же самое, что поменять их ролями. Повторы невозможны, поскольку один человек не может занять обе должности в рамках этой задачи.
Используем формулу размещений: A₇² = 7·6 = 42. Первый множитель отвечает за выбор старосты, второй — за выбор заместителя из оставшихся учеников.
Ответ: 42 способа.
Сколько можно составить трёхзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений?
Есть пять доступных цифр, а число состоит из трёх позиций, поэтому n = 5 и k = 3. Каждую цифру можно использовать не более одного раза.
Позиции числа задают порядок: например, числа 123 и 321 различны. Значит, считаем размещения, а не просто наборы цифр.
Вычисляем A₅³ = 5·4·3 = 60. На первую позицию подходят пять цифр, на вторую — четыре оставшиеся, на третью — три.
Ответ: 60 чисел.
В соревновании участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться золотая, серебряная и бронзовая медали?
Общее число спортсменов равно 10, а медали получают трое, поэтому n = 10 и k = 3. Один спортсмен не может получить сразу несколько из этих мест.
Места различаются: золотая медаль означает первое место, серебряная — второе, бронзовая — третье. Поэтому перестановка спортсменов меняет результат и порядок нужно учитывать.
Число вариантов равно A₁₀³ = 10·9·8 = 720. Для золотой медали выбирают одного из десяти, для серебряной — одного из девяти оставшихся, для бронзовой — одного из восьми.
Ответ: 720 способов.
Первая ошибка — не учитывать порядок и считать, будто выбранные элементы образуют только один вариант. Так поступают, когда смотрят лишь на состав набора, но забывают о ролях или местах. Проверь себя вопросом: изменится ли результат, если поменять выбранных людей местами? Если да, перестановка даёт другое размещение.
Вторая ошибка — разрешать повторный выбор элемента. Она возникает, если механически применяют правило умножения и не уменьшают число вариантов после каждого шага. Убедись, что по условию один элемент нельзя использовать дважды; тогда множители должны последовательно уменьшаться.
Третья ошибка — путать n и k: подставлять число выбранных элементов вместо общего количества или наоборот. Это случается, если не перевести условие задачи в обозначения. Перед вычислениями запиши отдельно, сколько всего элементов дано и сколько позиций нужно заполнить.
Четвёртая ошибка — записывать формулу как Aₙᵏ = n!/k!. Такую запись не получают сокращением произведения размещений. Проверь формулу по развернутому виду: после сокращения должно остаться ровно k множителей n, n−1 и далее до n−k+1, поэтому знаменатель — (n−k)!, а не k!.
Для подсчёта размещений нужно уметь применять правило умножения: варианты последовательных шагов перемножаются. Также пригодится вычисление факториалов, через которые записывают формулу Aₙᵏ = n!/(n−k)!. При k = n размещения превращаются в перестановки всех элементов, поэтому перестановки — частный случай размещений.
В сочетаниях, в отличие от размещений, порядок выбранных элементов не учитывается. Умение различать эти два случая помогает выбрать подходящую формулу в задачах на комбинаторный подсчёт. Размещения встречаются, когда нужно назначить роли, распределить призовые места или заполнить несколько позиций без повторений.
Чем размещение отличается от сочетания?
В размещении порядок выбранных элементов важен, а в сочетании — нет. Например, выбор старосты и заместителя задаёт размещение, а выбор двух учеников в команду — сочетание.
Почему порядок элементов в размещении имеет значение?
Потому что перестановка выбранных элементов меняет их роли или места. Староста и заместитель — не то же самое, что заместитель и староста.
Можно ли в размещении использовать один элемент несколько раз?
Нет, размещение составляют из различных элементов без повторений. Поэтому после выбора каждого элемента число вариантов на следующем шаге уменьшается на единицу.
Как определить n и k по условию задачи?
n — общее число доступных элементов, а k — сколько элементов нужно выбрать и расположить. Например, для выбора трёх призёров из десяти спортсменов n = 10, k = 3.
Почему формула числа размещений содержит факториал n−k?
В числителе n! содержатся все множители от 1 до n, а в произведении размещений нужны только n, n−1 и далее до n−k+1. Деление на (n−k)! сокращает лишние множители от 1 до n−k.
§ 62. Размещения
