"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Размещение — это выбор нескольких различных элементов из набора, при котором важно, в каком порядке они стоят. Например, назначить старосту и заместителя — не то же самое, что просто выбрать двух учеников: роли у них разные. Число таких выборов обозначают Aₙᵏ и вычисляют по формуле Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1) = n!/(n−k)!. Эта формула помогает считать варианты без повторений, когда выбранные элементы занимают разные места или получают разные роли.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещением из n элементов по k называют упорядоченный выбор k различных элементов из набора, в котором всего n элементов. «Упорядоченный» значит, что каждому выбранному элементу отведено своё место или своя роль; «различных» — что один элемент нельзя выбрать повторно. Например, назначение двух учеников старостой и заместителем задаёт порядок по ролям. Это определение помогает отличать размещения от выбора, где порядок не имеет значения.
Число размещений из n элементов по k обозначают Aₙᵏ. Буква A обозначает именно количество вариантов, а нижний индекс n и верхний k показывают размер исходного набора и количество выбранных элементов. Обычно рассматривают 0 ≤ k ≤ n. Обозначение нужно, чтобы кратко записывать число способов и подставлять значения в общую формулу.
Факториал числа n, обозначаемый n!, — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n: например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. По соглашению 0! = 1, хотя в этом произведении нет натуральных множителей. Такое соглашение позволяет формуле размещений работать и в граничных случаях, а также правильно сокращать факториалы.
Возьмём буквы А, Б и В и выберем две. Если порядок не учитывать, пары АБ и БА означают одну и ту же пару букв; если же каждому месту соответствует отдельная роль, это разные варианты: сначала А, потом Б и наоборот. Так устроено размещение: результатом считается не только набор элементов, но и их расположение. Поэтому перестановка выбранных элементов обычно создаёт новый вариант.
Чтобы посчитать размещения, назначим выбранным элементам места по очереди. На первое место можно поставить любой из n элементов, поэтому есть n вариантов; после этого один элемент уже использован, и на второе остаётся n−1 вариантов. На третье остаётся n−2, и так далее, пока не будут заняты k мест. Последнее место имеет n−k+1 вариантов, поэтому получаем Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1).
Такой подсчёт основан на правиле умножения: если первый шаг можно выполнить несколькими способами и для каждого из них доступны варианты следующего шага, общее число последовательностей равно произведению чисел вариантов на шагах. Здесь каждый множитель учитывает выбор для очередного места с учётом уже использованных элементов. Умножение не означает, что выборы независимы: число доступных элементов уменьшается после каждого шага. Именно поэтому нельзя оставить на каждом месте по n возможностей.
Произведение в формуле можно выразить через факториал. В n! входят множители n, n−1 и так далее до 1, а в знаменателе (n−k)! стоят множители от 1 до n−k. При делении общие множители сокращаются, и остаётся Aₙᵏ = n!/(n−k)! = n(n−1)…(n−k+1). В результате в числителе и после сокращения остаётся ровно k множителей — по одному на каждое место.
Если k = n, используются все элементы исходного набора, и требуется расставить их по местам. Такой упорядоченный набор называют перестановкой, поэтому число вариантов равно Aₙⁿ = n!/(n−n)! = n!/0! = n!. Соглашение 0! = 1 как раз позволяет получить эту формулу без отдельного исключения. Так размещения включают перестановки как частный случай.
| Что считаем | Порядок важен? | Формула | Что выбираем |
|---|---|---|---|
| Размещения из n по k | Да | Aₙᵏ = n!/(n−k)! | k различных элементов из n, с распределением по местам |
| Перестановки из n | Да | Pₙ = n! | Все n элементов, расположенные в определённом порядке |
| Сочетания из n по k | Нет | Cₙᵏ = n!/[k!(n−k)!] | k элементов из n без распределения по местам |
Сначала выясните, что именно образует результат: упорядоченные места, порядок всех элементов или только выбранный набор. Если порядок важен и берут не все элементы, используйте размещения; если берут все — перестановки. Если важен только состав набора, нужно сочетание.
Из пяти учеников нужно выбрать старосту и его заместителя. Здесь роли различаются: назначение А старостой и Б заместителем не совпадает с назначением Б старостой и А заместителем. Значит, порядок назначений важен, а один ученик не может занять обе роли.
Определяем параметры: всего учеников n = 5, назначить нужно k = 2 человек.
Используем размещения: A₅² = 5 · 4, потому что для старосты есть пять вариантов, а после его выбора для заместителя остаются четыре ученика.
Вычисляем: 5 · 4 = 20. Ответ: выбрать старосту и заместителя можно 20 способами.
Нужно составить трёхзначное число, в котором цифры не повторяются. Первой цифрой не может быть ноль, иначе запись не будет трёхзначным числом. Цифры стоят на разных позициях, поэтому порядок важен, но выбор для первой позиции ограничен отдельно.
Для сотен подходят цифры от 1 до 9, всего 9 вариантов.
После выбора первой цифры для десятков остаются 9 цифр из набора 0–9, так как одну цифру уже использовали. Для единиц затем остаются 8 цифр.
По правилу умножения получаем 9 · 9 · 8 = 648. Ответ: существует 648 таких чисел.
В соревновании участвуют 8 команд; требуется определить обладателей первого, второго и третьего мест. Места различаются, поэтому одна и та же тройка команд может дать несколько результатов в зависимости от распределения мест. Сочетания не подходят: они не различают порядок и посчитали бы только саму тройку призёров.
Всего есть n = 8 команд и k = 3 призовых места. Одна команда не может занять несколько мест, значит, выбор идёт без повторений.
Считаем варианты по местам: для первого есть 8 команд, для второго — 7, для третьего — 6. Следовательно, A₈³ = 8 · 7 · 6.
Вычисляем: 8 · 7 · 6 = 336. Ответ: призовые места могут распределиться 336 способами.
Первая ошибка — считать перестановки выбранных элементов одним и тем же вариантом. Так делают, если замечают только состав группы, но не учитывают места и роли; тогда число способов получается меньше нужного. Проверьте себя на двух элементах: если поменять их местами и результат изменится, порядок важен и это разные размещения.
Вторая ошибка — использовать nᵏ, хотя повторный выбор запрещён. Эта формула оставляет n вариантов на каждом шаге, как будто уже выбранный элемент можно брать снова. При размещениях число вариантов уменьшается: n, n−1, n−2 и так далее; проверка состоит в том, чтобы убедиться, что ни один элемент не занимает два места.
Третья ошибка — перепутать n и k при подстановке. Из-за этого вместо общего числа элементов в формулу попадает число выбранных или наоборот, и результат не соответствует условию. Перед вычислением подпишите: n — сколько элементов дано всего, k — сколько из них выбирают; затем проверьте, что 0 ≤ k ≤ n.
Четвёртая ошибка — записать Aₙᵏ = n!/k!. Такое деление не сокращает лишнюю часть факториала и обычно даёт неправильное количество вариантов. Правильная запись — n!/(n−k)!: после сокращения должны остаться k множителей, начиная с n и заканчивая n−k+1.
Для подсчёта размещений нужно уметь применять правило умножения: последовательно считать число вариантов на каждом месте. Также необходимо знать факториал, поскольку через него записывают формулу Aₙᵏ = n!/(n−k)!. Сравнение размещений с перестановками и сочетаниями помогает выбрать подходящий способ подсчёта в комбинаторной задаче. В дальнейшем размещения используются в задачах на перестановки, сочетания и вероятность.
Чем размещение отличается от сочетания?
В размещении порядок выбранных элементов важен, а в сочетании — нет. Например, выбор старосты и заместителя — размещение, а выбор двух дежурных без распределения ролей — сочетание.
Почему при размещении порядок элементов важен?
Потому что элементам соответствуют разные места, роли или результаты. Если поменять выбранные элементы местами, получится другой вариант: первое и второе места в соревновании не равны.
Как понять, что в задаче нужно использовать размещения?
Проверьте, выбирают ли несколько разных элементов и меняется ли результат, если поменять их порядок. Если повторять элементы нельзя, а порядок важен, подходит формула размещений Aₙᵏ.
Почему в формуле размещений появляется факториал n−k?
В записи Aₙᵏ = n!/(n−k)! факториал (n−k)! сокращает в n! множители, которые не участвуют в выборе. После сокращения остаются ровно k множителей: n, n−1 и далее до n−k+1.
Что происходит с формулой размещений, если k равно n?
Тогда выбираются все n элементов и располагаются в порядке, поэтому размещение становится перестановкой. Формула даёт Aₙⁿ = n!.
Размещения
