"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Размещение — это упорядоченный выбор нескольких разных элементов из общего набора. Оно помогает считать варианты, когда элементы распределяют по различимым местам или ролям: например, назначают старосту и заместителя или составляют число. Порядок здесь важен, а повторять элементы нельзя. Число размещений из n элементов по k вычисляют по формуле Aₙᵏ = n!/(n−k)!, где n — общее количество элементов, а k — число выбранных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение из n элементов по k — упорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из n элементов. Например, из букв А, Б, В можно составить размещения по две буквы: АБ и БА. Определение нужно, чтобы отличать размещение от выбора группы, где порядок не учитывают.
Число размещений из n по k обозначают Aₙᵏ. Эта запись показывает, сколько разных упорядоченных наборов можно составить из n элементов, выбирая по k. Например, A₈² — число способов выбрать двух учеников из восьми и назначить их на две разные роли. Буква n обозначает общее количество элементов, а k — число занятых мест.
Факториал числа n обозначают n!; это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, а по определению 0! = 1. Факториал удобен для короткой записи длинных произведений, которые возникают при подсчёте вариантов.
Число размещений без повторений вычисляют по формуле Aₙᵏ = n!/(n−k)!, где 0 ≤ k ≤ n. Условие означает, что нельзя выбрать больше элементов, чем есть, а повторно взять тот же элемент нельзя. Формула позволяет быстро найти число вариантов и равносильна произведению n(n−1)…(n−k+1).
В размещении важен порядок, потому что каждое место или роль имеет своё значение. Если в наборе АБ поменять элементы местами, получится БА — другой результат. То же происходит при назначении старосты и заместителя: одинаковые два ученика могут распределить роли двумя способами. Поэтому сначала проверь, различаются ли позиции, прежде чем считать варианты.
Чтобы посчитать размещения, заполняй места последовательно. Для первого места подходит любой из n элементов, поэтому есть n вариантов. После этого остаётся n−1 элемент для второго места; затем — n−2 для третьего, и так далее, пока не будут заняты k мест. Такой подсчёт помогает увидеть, откуда берётся формула, а не просто запомнить её.
Количество вариантов на каждом шаге уменьшается, потому что выбранный элемент нельзя использовать снова. Для трёх мест получается n вариантов на первом, n−1 на втором и n−2 на третьем. По правилу произведения число способов равно произведению вариантов на всех шагах: n(n−1)…(n−k+1). В нём ровно k множителей, и каждый следующий на единицу меньше предыдущего.
Формулу через факториал можно получить из этого произведения. В n! есть нужные множители n, n−1 и так далее до n−k+1, но после них остаётся лишняя часть (n−k)!. Если разделить n! на (n−k)!, лишняя часть сократится, и останется произведение ровно из k множителей. Так получаем Aₙᵏ = n!/(n−k)!, что удобно для вычислений при больших n.
Чтобы понять, подходит ли задача к размещениям, найди общий набор и места или роли, которые нужно заполнить. Затем проверь, различаются ли эти места: если да, перестановка выбранных элементов меняет результат. Наконец, выясни, можно ли использовать один элемент несколько раз; для размещений без повторений это запрещено. Например, цифры в числе или ученики на разных должностях обычно не повторяются.
| Характеристика | Описание |
|---|---|
| Что выбирают | Различные элементы из общего набора |
| Сколько элементов выбирают | k элементов из n, где 0 ≤ k ≤ n |
| Учитывается ли порядок | Да, разные порядки дают разные размещения |
| Можно ли повторять элементы | Нет, каждый элемент используют не более одного раза |
| Число размещений | Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1) |
| Формула через факториал | Aₙᵏ = n!/(n−k)! |
Сначала по строкам проверь условия задачи: сколько элементов дано, сколько мест заполняют и важен ли порядок. Если порядок важен, а повторения запрещены, используй одну из двух равносильных формул. Произведение удобнее для небольшого k, а факториальная запись — для применения общей формулы.
Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры не повторяются? Здесь выбирают три цифры из четырёх и ставят их на разные позиции: сотни, десятки и единицы. Порядок важен, потому что, например, 123 и 321 — разные числа. Повторять цифры условие запрещает, значит, перед нами размещения без повторений.
Мы умножили варианты для позиций, поскольку каждая последовательность выборов задаёт одно число. Проверка по формуле даёт A₄³ = 4!/(4−3)! = 24. Ответ: 24 числа.
В классе 8 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? Нужно назначить двух разных учеников на разные роли, поэтому перестановка назначенных людей меняет результат. Один ученик не может одновременно занять обе роли, следовательно, повторения запрещены. Это размещение из восьми учеников по два.
Нельзя просто посчитать пары учеников без учёта ролей: у каждой пары есть два варианта распределения должностей. Это объясняет, почему размещение подходит лучше, чем неупорядоченный выбор группы. Ответ: 56 способов.
Сколькими способами можно расставить на полке 4 разные книги, выбранные из 10? На полке четыре последовательных места, а книги различаются, поэтому замена порядка создаёт новую расстановку. Каждую книгу можно поставить только один раз. Значит, нужно найти число размещений из 10 книг по 4 места.
Сокращение на 6! оставляет в числителе четыре множителя: 10 · 9 · 8 · 7. Это подтверждает, что мы учли ровно четыре места, а не переставляли все десять книг. Ответ: 5040 способов.
Ошибка — считать размещением любой выбор нескольких элементов, не проверив, важен ли порядок. Её допускают, когда замечают только число выбранных предметов, но забывают о местах и ролях. Если перестановка выбранных элементов ничего не меняет, размещения применять нельзя. Проверь себя вопросом: будут ли результаты разными после обмена двух элементов?
Иногда в подсчёте разрешают повторно выбрать уже использованный элемент, хотя условие требует разных элементов. Это случается, если механически умножают одно и то же число вариантов на каждом шаге. Для размещения без повторений число доступных элементов каждый раз уменьшается на один. Сверь получаемые множители: n, n−1 и далее, а не n на каждом месте.
Число nᵏ используют для выбора с повторениями, поэтому подстановка его в задачу о размещениях без повторений завышает ответ. Например, для двух мест n² считает, что на обоих могут стоять любые элементы, в том числе одинаковые. Убедись, разрешает ли условие повторение; если нет, используй Aₙᵏ. Проверить вычисление можно и последовательным перечислением числа вариантов для каждой позиции.
Ещё одна ошибка — взять неверное число множителей или записать неправильный знаменатель в формуле. Она возникает, если теряется связь между k занятыми местами и длиной произведения. В произведении должно быть ровно k множителей, начиная с n; в факториальной записи знаменатель равен (n−k)!. После вычисления проверь, что значение совпадает с произведением n(n−1)…(n−k+1).
Для подсчёта размещений нужны умножение натуральных чисел и правило произведения: если выбор делают по шагам, общее число вариантов находят умножением числа возможностей на каждом шаге. Также пригодится факториал, позволяющий записать произведение коротко. Если эти понятия знакомы, формулу размещений можно понять через последовательный выбор, а не заучивать отдельно.
Размещения встречаются в задачах на составление чисел, распределение ролей и расстановку предметов. В таких ситуациях позиции различаются, поэтому порядок выбранных элементов влияет на ответ. Позже размещения станут частью комбинаторных формул и пригодятся при изучении вероятности. Там подсчёт числа возможных исходов помогает оценивать, насколько вероятно событие.
Чем размещение отличается от простого выбора нескольких элементов?
При размещении учитывается порядок: выбранные элементы занимают разные места или выполняют разные роли. Если важен только состав выбранной группы, а порядок не имеет значения, это не размещение.
Почему перестановка двух выбранных элементов считается новым размещением?
После перестановки элементы занимают другие места, поэтому получается другой упорядоченный набор. Например, староста и заместитель — разные роли, и их нельзя поменять местами без изменения результата.
Как понять по условию, что элементы нельзя повторять?
Ищи указания вроде «разные», «без повторений» или «каждый можно использовать только один раз». Если такого ограничения нет, нужно проверить, допускает ли сама ситуация повторный выбор.
Почему в формуле размещений в знаменателе стоит (n−k)!?
В числителе n! содержатся все множители от n до 1, а для размещения нужны только первые k: n, n−1, …, n−k+1. Деление на (n−k)! сокращает лишние множители от n−k до 1.
Можно ли использовать формулу размещений, если нужно выбрать все n элементов?
Да. При k = n получаем Aₙⁿ = n!/(n−n)! = n!/0! = n!, поскольку 0! = 1. Это число способов расставить все n различных элементов по местам.
§ 36. Размещения
