"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Комбинаторика помогает подсчитать, сколькими способами можно выбрать или расположить предметы, не перебирая все варианты по одному. Для подсчёта используют правило суммы, когда выбирают один вариант из разных взаимоисключающих групп, и правило произведения, когда выбор состоит из нескольких этапов. Если нужно расставить все различные элементы, применяют формулу перестановок n! — произведение чисел от 1 до n. Главное — точно определить, что именно выбирают и важен ли порядок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правило суммы — число способов выбрать один вариант из нескольких взаимоисключающих групп находят сложением числа способов в каждой группе. Взаимоисключающие группы устроены так, что выбирают вариант только из одной из них. Правило помогает подсчитать общее число вариантов без перечисления каждого по отдельности.
Правило произведения — число способов выполнить последовательный выбор находят умножением числа вариантов на каждом этапе. Например, один этап может отвечать за выбор предмета, а следующий — за выбор его положения. Это правило нужно, когда итоговый вариант складывается из решений на всех этапах.
Перестановка — расположение всех данных элементов в определённом порядке, при котором меняется порядок элементов. Например, разные порядки одних и тех же книг на полке считаются разными перестановками. Это понятие используют, когда важно рассчитать число способов расставить весь набор.
Факториал — произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа: n! = 1 · 2 · 3 · … · n. С его помощью кратко записывают число перестановок n различных элементов. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, а по определению 0! = 1.
Представь, что можно выбрать один напиток: сок из первой группы или воду из второй. Нельзя одновременно выбрать оба варианта, поэтому группы взаимоисключающие. Если в первой группе a вариантов, а во второй b, каждому варианту соответствует отдельный выбор, и всего получается a + b способов.
При последовательном выборе ситуация другая: нужно, например, выбрать верхнюю и нижнюю части комплекта. Для каждого из a вариантов верхней части можно подобрать каждый из b вариантов нижней. Значит, таких пар a · b; именно поэтому при последовательных действиях числа вариантов перемножают.
Чтобы отличить эти случаи, спроси себя: «Нужен один вариант из разных групп или результат состоит из нескольких решений?». Если выбираешь или один предмет из первой группы, или один из второй, это правило суммы. Если нужно выбрать и предмет, и его цвет, то это два этапа одного выбора и обычно применяется правило произведения.
При расстановке n различных элементов первое место можно занять любым из n элементов. После этого остаётся n − 1 элемент для второго места, затем n − 2 для третьего, и так продолжается, пока не останется один элемент. По правилу произведения получаем n · (n − 1) · (n − 2) · … · 1, то есть n!.
Не всякий подсчёт вариантов является подсчётом перестановок. Для перестановки берут все элементы набора, каждый ровно один раз, и порядок должен влиять на результат. Если хотя бы часть элементов не используется, повторения разрешены или порядок не важен, нужно проверить, подходит ли другая модель подсчёта.
| Случай | Что считается | Формула | Условие применения |
|---|---|---|---|
| Правило суммы | Выбор одного варианта из групп | a + b | Группы взаимоисключающие |
| Правило произведения | Способы пройти несколько этапов | a · b | Нужны результаты всех этапов |
| Перестановки без повторений | Порядки всех n различных элементов | n! | Каждый элемент используют один раз, порядок важен |
| Факториал | Произведение чисел от 1 до n | n! = 1 · 2 · … · n | n — натуральное число; 0! = 1 |
Сначала определи, что считается в задаче: отдельные случаи, этапы выбора или порядок всего набора. Затем проверь условия применения правила в последнем столбце и выбери подходящую формулу. Если выбор состоит из нескольких этапов, число вариантов на каждом из них можно перемножить.
Задача 1. В школьной столовой на первое блюдо можно выбрать суп или борщ, а на второе — одно из четырёх блюд. Сколькими способами можно выбрать только одно блюдо на обед, если учитываются все варианты из двух групп? Условие говорит о выборе одного блюда: или из группы первых блюд, или из группы вторых.
Ответ: 6 способов. Если бы требовалось взять и первое, и второе блюдо, это были бы два последовательных этапа, и понадобилось бы правило произведения.
Задача 2. Сколько различных двухзначных чисел можно составить из цифр 2, 5, 7 и 9 без повторения цифр? Число состоит из цифры десятков и цифры единиц, значит, выбор проходит в два этапа. После выбора первой цифры её нельзя использовать снова.
Ответ: 12 чисел. Например, выбор 2 для десятков и 5 для единиц даёт число 25, а обратный порядок — 52, поэтому порядок цифр учитывается.
Задача 3. Сколькими способами можно расставить на полке 6 различных книг? Требуется расположить все книги, каждая должна занять одно место, и разные порядки на полке считаются различными. Значит, перед нами перестановка шести элементов без повторений.
Ответ: 720 способов. Множители уменьшаются, потому что уже поставленные книги повторно не выбирают.
Складывают варианты при последовательном выборе. Так бывает, когда ученик замечает несколько действий, но не проверяет, нужны ли все они для результата. Если итог состоит, например, из цифр на двух местах, нужно определить число вариантов на каждом месте и перемножить их. Проверь себя вопросом: «Можно ли получить готовый результат, выполнив только один этап?»
Умножают варианты взаимоисключающих случаев. Ошибка возникает, если слово «и» или несколько перечисленных групп автоматически воспринимаются как этапы. Когда требуется выбрать только один вариант — из первой группы или из второй, — группы не соединяют в пару, а складывают их количества. Проверь, может ли один итоговый выбор содержать вариант сразу из обеих групп.
Считают перестановкой выбор только части элементов. Формулу n! применяют к порядкам всего набора, поэтому при выборе нескольких объектов из большого набора она не подходит напрямую. Ошибку допускают, потому что видят важный порядок и забывают проверить, все ли элементы используются. Перед вычислением пересчитай набор: каждый ли элемент включён ровно один раз.
Забывают, что порядок важен, или допускают повторение элемента. В перестановках изменение порядка создаёт новый вариант, а повторное использование элемента не разрешено. Если считать два разных порядка одинаковыми или снова выбирать уже поставленный элемент, результат будет неверным. Проверь, что для задачи варианты с обменом мест различаются и каждый элемент встречается ровно один раз.
Для этой темы нужны навыки сложения и умножения натуральных чисел, а также умение понимать последовательность действий. Полезно различать ситуации «или» и «и»: первая часто указывает на выбор одного случая, вторая — на сочетание этапов. Само слово в условии не заменяет проверку смысла задачи.
Комбинаторные подсчёты применяются в задачах на вероятность, когда нужно определить общее число равновозможных исходов. Правила суммы и произведения помогают находить это число, если исходы устроены как отдельные случаи или последовательные шаги. Тогда становится возможным сравнить число подходящих исходов с общим числом.
Дальше комбинаторика приводит к изучению сочетаний и размещений, в которых отдельно учитывают, выбираются ли все элементы и важен ли порядок. Подсчёт вариантов также используется в статистике и анализе возможных решений. Поэтому умение правильно выбрать правило важно не только для задач о перестановках.
Как понять, нужно складывать варианты или умножать?
Складывай, если выбираешь один вариант из нескольких взаимоисключающих групп: одновременно взять вариант из обеих групп нельзя. Умножай, если выбор проходит в несколько последовательных этапов и нужен каждый этап.
Можно ли применять правило произведения, если некоторые варианты повторяются?
Да, если на каждом этапе число доступных вариантов известно, его можно включить в произведение. Если выбранный вариант нельзя использовать повторно, число вариантов на следующих этапах обычно меняется.
Чем перестановка отличается от обычного выбора объектов?
При перестановке берут все данные элементы, каждый ровно один раз, и меняют их порядок. Если выбирают только часть элементов или порядок не имеет значения, это уже не перестановка.
Почему число перестановок равно n!, а не n · n?
Для первого места есть n вариантов, но после его заполнения для второго остаётся n − 1, затем n − 2 и так далее. Поэтому количество порядков равно произведению n · (n − 1) · … · 1, то есть n!, а не n одинаковых множителей.
Как вычислять факториал и зачем вводится 0! = 1?
Чтобы найти n!, перемножь натуральные числа от 1 до n: например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Значение 0! = 1 принимают по определению; оно сохраняет удобные правила вычислений, в том числе формулы комбинаторики.
§ 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки
