"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Перестановкой называют расположение всех заданных различных элементов в определённом порядке. Например, если расставить одни и те же книги по-разному, получатся разные перестановки. Чтобы узнать, сколько порядков возможно для n элементов, последовательно подсчитывают варианты для каждого места: n, n − 1 и так далее до 1. Их произведение равно n!, факториалу числа n. Эта формула помогает решать задачи о расстановке предметов и людей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перестановка из n различных элементов — это расположение всех этих элементов в определённом порядке. Например, для букв A, B и C вариант ABC является одной перестановкой, а BAC — другой. В каждом варианте должны присутствовать все три буквы, причём каждая ровно один раз. Это понятие позволяет описывать ситуации, где нужно расставить или упорядочить весь набор объектов.
Число перестановок — количество различных порядков, которыми можно расположить заданные элементы. Для трёх букв A, B и C таких порядков шесть: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA. Если предметы различны, перестановка каждого из них создаёт отдельный вариант. Подсчёт числа перестановок нужен, чтобы узнать общее количество возможных расстановок, не перечисляя их все.
Факториал натурального числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n; его обозначают n!. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. В записи факториала восклицательный знак — математическое обозначение, а не знак действия с уже готовым числом. Факториал удобен тем, что коротко записывает произведение, возникающее при подсчёте перестановок.
Возьмём три различных элемента A, B и C. Перестановками будут ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA: состав каждого варианта один и тот же, меняется только порядок. Например, ABC и BAC различаются, потому что A и B поменялись местами. Если же записать только AB, это не перестановка трёх элементов: буква C не использована.
Чтобы посчитать все порядки, удобно заполнять места по очереди. На первое место можно поставить любой из n элементов, значит, есть n вариантов. После этого один элемент уже использован, поэтому на второе место остаётся n − 1 вариант; далее остаётся n − 2 и так до последнего места, для которого подходит единственный элемент. По правилу умножения перемножаем число вариантов на каждом шаге, потому что каждому выбору для раннего места можно сопоставить все допустимые продолжения.
Получается произведение Pₙ = n · (n − 1) · … · 2 · 1. По определению факториала это произведение записывается короче: Pₙ = n!. Например, для трёх элементов P₃ = 3 · 2 · 1 = 6, что совпадает с шестью вариантами из списка. Запись факториала помогает быстро вычислять число порядков для больших наборов, не перечисляя перестановки.
Для малых значений удобно проверить формулу напрямую: 1! = 1, 2! = 2 · 1 = 2, 3! = 6, 4! = 24. С одним элементом возможен только один порядок, с двумя — два, а для четырёх формула даёт 24 варианта. Такие значения помогают заметить ошибку в вычислении: например, если для четырёх предметов получилось 16, нужно проверить, не применено ли ошибочное умножение 4 · 4.
Перестановка описывает упорядочивание всего набора, поэтому в ней важны и состав, и порядок. Если выбрать только две книги из пяти, не расставляя остальные, полученный выбор не является перестановкой всех пяти книг. Также перестановкой не будет набор, в котором один элемент повторился, а другой пропущен. Поэтому перед применением n! проверьте: используются ли все элементы и можно ли каждый использовать только один раз.
| Число элементов n | Подсчёт по правилу умножения | Число перестановок Pₙ = n! |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 · 1 | 2 |
| 3 | 3 · 2 · 1 | 6 |
| 4 | 4 · 3 · 2 · 1 | 24 |
| n | n · (n − 1) · … · 2 · 1 | n! |
В первых строках видно, как число вариантов для очередного места уменьшается на единицу. Чтобы найти число перестановок для другого значения n, продолжите произведение от n до 1 и вычислите факториал. Таблица также помогает сверить результат для небольших наборов.
Условие. Сколькими способами можно расставить в ряд 4 различные книги? Книги различаются, и при перестановке меняется порядок всего набора. Поэтому задача подходит под определение перестановки четырёх элементов.
Ответ: 24 способа. Проверка: книги не повторяются, места все заняты, а разные порядки считаются разными. Значит, применённая формула соответствует условию.
Условие. Сколькими способами могут занять места в одном ряду 7 участников соревнования? Каждый участник должен занять одно место, а два разных порядка рассадки считаются разными вариантами. Значит, нужно расположить всех участников, а не выбрать только часть из них.
Ответ: 5040 способов. Мы не умножали 7 на себя семь раз: после каждого места один участник уже занят и не может занять другое. Именно это уменьшение числа вариантов отличает перестановку от выбора с повторениями.
Условие. Сколькими способами можно расставить в ряд 6 человек, если два определённых человека должны стоять рядом? Этих двоих удобно временно считать одним блоком, так как при перемещении блока они остаются соседями. Вместе с четырьмя остальными людьми получается пять объектов для расстановки.
Ответ: 240 способов. Блоки размещены всеми возможными способами, а два внутренних порядка учтены отдельно. Если забыть умножить на 2, варианты, в которых эти люди поменялись местами, останутся неучтёнными.
Первая ошибка — считать, что перестановки не меняются при смене порядка элементов. Её допускают, когда воспринимают набор букв или предметов как неупорядоченную группу. Но для расстановки ABC и BAC — разные варианты, потому что изменились места элементов. Проверяйте себя вопросом: считается ли в условии важным, кто или что стоит на каждом месте?
Вторая ошибка — записывать для n элементов nⁿ вариантов. Такое выражение предполагает, что для каждого места снова доступны все n элементов, то есть повторы разрешены. При перестановке каждый элемент используется один раз, поэтому доступных вариантов становится всё меньше. Проверьте, вычитается ли уже использованный элемент из числа возможных выборов.
Третья ошибка — не дописать последний множитель 1 или неверно вычислить факториал. Например, произведение 4 · 3 · 2 равно 24, но в общем правиле после двойки обязательно идёт единица. Ошибка может возникнуть и при арифметическом счёте нескольких множителей. Запишите произведение полностью, а затем вычислите его по шагам и сверьте с небольшими значениями из таблицы.
Четвёртая ошибка — применять n! к любой задаче с предметами или людьми. Формула подходит только тогда, когда упорядочиваются все n различных элементов без повторений. Если нужно выбрать лишь часть набора или разрешено повторять элементы, условия подсчёта другие. Перед вычислением перечислите: сколько объектов участвует, все ли они используются и может ли один объект занять несколько мест.
Для подсчёта перестановок используется правило умножения: если каждый выбор на одном шаге можно продолжить несколькими способами, числа вариантов перемножают. Поэтому перед изучением темы полезно уверенно считать произведения натуральных чисел и понимать, как последовательно заполняются места. Факториал сокращает запись такого произведения.
Перестановки описывают полное упорядочивание книг, участников и других объектов. Они становятся основой для изучения размещений и сочетаний: там тоже рассматривают элементы набора, но могут выбирать не все и по-разному учитывать порядок. Чтобы различить эти случаи, сначала выясняют, сколько элементов выбирают и имеет ли значение их последовательность.
Что именно называют перестановкой?
Перестановка — это расположение всех заданных различных элементов в определённом порядке. Каждый элемент используется ровно один раз.
Почему перестановки с разным порядком считаются разными?
Порядок показывает, какой элемент занимает каждое место. Например, ABC и BAC — разные варианты, потому что на первом месте стоят разные элементы.
Почему число перестановок равно n!, а не nⁿ?
При расстановке без повторений после выбора элемента для места его уже нельзя выбрать снова, поэтому число вариантов уменьшается: n, n − 1, …, 1. Выражение nⁿ подходит для выбора с повторениями, когда на каждом месте снова доступны все n элементов.
Как вычислить факториал числа?
Нужно перемножить все натуральные числа от 1 до этого числа: например, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Удобно считать по шагам, каждый раз умножая предыдущий факториал на следующее число.
Можно ли применять формулу n!, если нужно расположить только часть элементов?
Нет, формула n! считает порядок всех n элементов. Если нужно расположить только часть, применяют другой способ подсчёта и проверяют, сколько мест заполняется и можно ли повторять элементы.
Перестановки
