§ 61. Перестановки

Определения и обозначения

Перестановка — это упорядоченное расположение всех n различных элементов. Два расположения считают разными, если хотя бы пара элементов поменялась местами. Например, ABC и BAC — разные перестановки букв A, B и C. Это понятие нужно, когда важно не только, какие предметы участвуют, но и в каком порядке они стоят.

Факториал числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n; его обозначают n!. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Факториал удобно записывает длинное произведение кратко и помогает быстро выразить число вариантов, когда выбор делается последовательно.

Число перестановок из n различных элементов обозначают Pₙ, и оно равно n!: Pₙ = n!. Здесь n показывает, сколько всего элементов надо расположить. Обозначение позволяет сразу перейти от условия задачи к вычислению, если каждый элемент используется один раз и порядок имеет значение.

Как это устроено

Представь, что n различных предметов надо поставить в ряд. Сначала выбирают предмет для первого места: подойдёт любой из n предметов. После этого один предмет уже занят, поэтому для второго места остаётся n−1 вариант. Число доступных вариантов уменьшается, потому что один и тот же предмет нельзя поставить на два места.

Дальше для третьего места остаётся n−2 предмета, затем число возможностей продолжает уменьшаться. Когда свободно последнее место, для него остаётся ровно один предмет. Поэтому последовательный выбор описывается числами n, n−1, …, 2, 1. Каждый множитель отвечает за выбор на своём месте.

Чтобы посчитать все возможные ряды, применяют правило умножения: если действие состоит из нескольких последовательных шагов, число способов выполнить его равно произведению числа вариантов на каждом шаге. Здесь выбор для следующего места зависит от того, что уже поставили, но количество доступных вариантов всё равно известно. Значит, общее число расположений равно n · (n−1) · … · 2 · 1.

Это произведение по определению записывают как n!, поэтому число перестановок равно Pₙ = n!. Например, для трёх букв A, B и C можно получить ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA — всего шесть порядков. В каждом из них присутствуют все три буквы ровно по одному разу; меняется только порядок.

Для вычисления числа вариантов сначала найди, сколько именно различных элементов требуется расположить, а затем подставь это число в факториал. Например, для шести предметов P₆ = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720. Считай произведение последовательно, чтобы не пропустить множитель. Если в условии нужно расставить не все элементы, формула перестановок напрямую не подходит.

Перестановки из n различных элементов

Таблица показывает, какие признаки должны совпасть, чтобы применить формулу перестановок. Используй её как проверку: все ли элементы участвуют и зависит ли результат от порядка. Если ответ на оба вопроса положительный и элементы различны, можно вычислять факториал.

Разбор задач

Задача 1. Сколькими способами можно расположить в ряд три различные книги? Все три книги должны попасть в ряд, а их порядок влияет на результат. Значит, речь идёт о перестановках трёх элементов. Применим формулу и вычислим факториал.

1. Определяем число элементов: n = 3.
2. Записываем число перестановок: P₃ = 3!.
3. Вычисляем: 3! = 3 · 2 · 1 = 6.

Ответ: 6 способов. Например, если поменять местами две книги, получится уже другое расположение, хотя набор книг останется прежним.

Задача 2. Сколькими способами можно расставить по местам пять участников, если каждый должен занять ровно одно место? Участники различны, и все пять должны получить места. Порядок важен, поскольку смена мест хотя бы двух участников создаёт другую расстановку. Поэтому считаем перестановки всех пяти участников.

1. Находим число участников: n = 5.
2. Применяем формулу: P₅ = 5!.
3. Раскрываем факториал: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Ответ: 120 способов. Это число учитывает все возможные порядки пяти участников, а не только варианты для части из них.

Задача 3. Сколькими способами можно расположить в ряд семь различных карточек, если две определённые карточки должны стоять рядом? Соседние карточки удобно объединить в один блок: теперь нужно расставить этот блок и ещё пять карточек. Получается шесть объектов, но внутри блока две карточки можно поменять местами. Поэтому отдельно учитываем порядок в блоке.

1. Считаем блок одним объектом: всего 6 объектов, их можно расставить 6! способами.
2. Внутри блока две карточки располагаются 2! способами.
3. По правилу умножения перемножаем результаты: 6! · 2! = 720 · 2 = 1440.

Ответ: 1440 способов. Множитель 2! необходим, потому что условие разрешает обе последовательности двух карточек внутри блока.

Типичные ошибки

Учитывают только часть множителей. Например, записывают n · (n−1), но останавливаются, хотя оставшиеся элементы тоже должны занять места. Так ошибаются, если считают только первые шаги выбора. Проверь, что произведение продолжается до 1, то есть включает каждый множитель от n до 1.

Считают, что перестановки различаются составом. В перестановке набор элементов не меняется: каждый вариант содержит все те же элементы. Ошибка возникает, когда путают расположение с выбором предметов из большего набора. Проверь два предполагаемых варианта: если в них одни и те же элементы, сравнивай их порядок.

Применяют n! при выборе нескольких элементов из большего набора. Перестановка предполагает, что расположены все заданные элементы, а не только часть. Формулу иногда выбирают по слову «способы», не проверяя смысл условия. Перечисли, что должно попасть в результат: если часть элементов остаётся неиспользованной, нужна другая схема подсчёта.

Путают n! с n · n. Запись факториала означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, а не квадрат числа n. Например, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24, тогда как 4 · 4 = 16. Для самопроверки раскрой знак ! по определению и пересчитай множители.

Связь с другими темами

Для вывода формулы перестановок нужно знать правило умножения: оно позволяет перемножить число вариантов на последовательных шагах. Эта связь помогает не просто запомнить n!, но и понять, откуда берётся каждый множитель. В задачах выбор для каждого следующего места рассматривается как отдельный шаг.

Факториал опирается на умение перемножать натуральные числа и читать запись n!. Позже он встречается и в формулах других разделов комбинаторики. Перестановки отличаются от сочетаний и размещений тем, что здесь используются все элементы; в этих темах важно различать выбор части элементов и порядок их расположения.

Перестановки применяют в задачах о рассадке, очередности выступлений и расположении предметов. Они дают базовый способ подсчёта вариантов, который пригодится при изучении сочетаний и размещений. В более сложной задаче можно объединять элементы в блоки, если в условии требуется их соседство.

Что запомнить

• Перестановка — это расположение всех элементов в определённом порядке.
• В перестановке каждый элемент используется ровно один раз.
• Перестановки различаются порядком элементов.
• Число перестановок n различных элементов равно Pₙ = n!.
• n! = n · (n−1) · … · 2 · 1.
• Перед применением формулы проверь, что располагаются все элементы.