"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Сочетание — это выбор нескольких элементов из имеющихся, когда их порядок не имеет значения. Например, выбор двух дежурных из класса не меняется, если назвать учеников в обратном порядке. Число сочетаний помогает подсчитать такие варианты и обозначается Cₙᵏ. Его находят по формуле с факториалами; кроме того, сочетания обладают симметрией и рекуррентным свойством. Эти правила упрощают вычисления и встречаются в задачах на вероятность и подсчёт вариантов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сочетание из n элементов по k — выбор k элементов из n, при котором порядок выбранных элементов не учитывается. Например, группа из Ани и Бориса та же, что группа из Бориса и Ани. Это понятие подходит для ситуаций, где важен состав группы, а не последовательность действий.
Число сочетаний из n по k — количество способов выбрать k элементов из множества, содержащего n элементов; его обозначают Cₙᵏ. Здесь n — общее число элементов, а k — размер каждой группы. Обозначение помогает кратко записывать число возможных групп и выполнять вычисления.
Число сочетаний вычисляют по формуле Cₙᵏ = n! / (k!(n − k)!), если 0 ≤ k ≤ n. Знак ! означает факториал: например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4. Формула позволяет получать точный ответ без перечисления всех вариантов, особенно когда элементов много.
Биномиальный коэффициент — другое название числа Cₙᵏ. Он показывает, сколько сочетаний размера k можно составить из n элементов. Название часто встречается в формулах, связанных с раскрытием степени суммы, а сам коэффициент остаётся обычным числом способов выбора.
Представим, что нужно выбрать двух дежурных из трёх учеников: Ани, Бори и Веры. Набор Аня—Боря совпадает с набором Боря—Аня, потому что после выбора дежурных их порядок не меняет состав группы. При размещениях эти записи считались бы разными, так как там фиксируется порядок. Поэтому при подсчёте сочетаний перестановки одной и той же группы нельзя записывать как новые варианты.
Чтобы вывести формулу сочетаний, сначала посчитаем упорядоченные выборки из n элементов по k, то есть размещения: Aₙᵏ = n! / (n − k)!. Любой набор из k разных элементов можно расположить в k! порядках, и все эти порядки дают одно сочетание. Значит, размещения считают каждый набор ровно k! раз. Деление Aₙᵏ на k! даёт Cₙᵏ = n! / (k!(n − k)!).
У числа сочетаний есть симметрия: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ. Чтобы получить группу из k элементов, можно указать не только тех, кого берём, но и тех n − k, кого оставляем. Для каждого выбора взятых элементов остаётся один точно определённый набор невзятых, и наоборот. Поэтому оба способа описания дают одинаковое число вариантов.
Рассмотрим выбор k + 1 элемента из n + 1, где один элемент заранее отмечен. Группы делятся на два случая: отмеченный элемент входит в выбор или не входит. В первом случае к нему нужно добавить k элементов из оставшихся n, всего Cₙᵏ способов; во втором нужно выбрать все k + 1 элемента из этих n, то есть Cₙᵏ⁺¹ способов. Случаи не пересекаются и вместе охватывают все варианты, поэтому Cₙᵏ + Cₙᵏ⁺¹ = Cₙ₊₁ᵏ⁺¹.
Если не выбирают ни одного элемента, возможен только один вариант — оставить всё как есть; если выбирают все элементы, тоже есть только один вариант. Поэтому Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1. Эти значения ставят по краям треугольника Паскаля, а внутренние числа получают сложением двух соседних чисел над ними. Так рекуррентное свойство позволяет строить таблицу сочетаний без вычисления факториалов.
| Свойство | Формула | Смысл или условие |
|---|---|---|
| Формула вычисления | Cₙᵏ = n! / (k!(n − k)!) | Применяется при 0 ≤ k ≤ n. |
| Симметрия | Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ | Выбрать k элементов равносильно выбрать n − k оставшихся. |
| Рекуррентное свойство | Cₙᵏ + Cₙᵏ⁺¹ = Cₙ₊₁ᵏ⁺¹ | Разбиение групп по наличию фиксированного элемента. |
| Граничные значения | Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1 | Ничего не выбрать или выбрать всё можно одним способом. |
| Допустимые значения k | 0 ≤ k ≤ n | k и n должны быть целыми числами. |
Сначала проверь допустимость k, затем выбери удобный способ: формулу, симметрию или рекуррентное свойство. Если нужно составить ряд значений при разных n и k, используй граничные единицы и складывай соседние числа по правилу Паскаля.
Порядок, в котором назвали дежурных, ничего не меняет: важен только состав пары. Значит, нужно найти число сочетаний из пяти элементов по два. Формула здесь короче перебора и не учитывает повторно одну пару в обратном порядке.
Ответ: выбрать дежурных можно 10 способами.
Обязательная книга уже занимает одно из четырёх мест, поэтому выбирать её заново не нужно. После её фиксации остаётся добавить ещё три книги. Эти три выбираются из восьми остальных, а порядок выбора книг значения не имеет.
Ответ: подходящий набор можно составить 56 способами.
В показателе выбора стоит 7, и считать напрямую пришлось бы работать с крупными факториалами. Симметрия заменяет выбор семи элементов выбором трёх, которые останутся. Малое значение k делает вычисление короче, а формула позволит проверить результат.
Ответ: C₁₀⁷ = 120.
Первая ошибка — считать перестановки одного набора разными сочетаниями. Так происходит, когда путают выбор группы с назначением ролей: запись АБ и БА для пары дежурных не создаёт две группы. Проверь себя вопросом: изменится ли результат, если назвать выбранные элементы в обратном порядке? Если нет, порядок учитывать не нужно.
Вторая ошибка — неверно записать знаменатель формулы, например забыть множитель k! или поставить вместо него другой факториал. Это случается из-за похожих выражений и спешки при подстановке. Проверяй формулу целиком: в знаменателе должны стоять k! и (n − k)!, а их аргументы вместе дают n.
Третья ошибка — применять формулу при k > n или k < 0. В такой ситуации задача о выборе заданного числа элементов из имеющегося множества не имеет смысла, хотя выражение с факториалами может подтолкнуть к вычислениям. Перед подстановкой проверь, что n и k целые и выполняется 0 ≤ k ≤ n.
Четвёртая ошибка — путать Cₙᵏ и Cₖⁿ, будто верхний и нижний индексы можно поменять местами. Симметрия сочетаний меняет k на n − k, но n остаётся общим числом элементов: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ. Для проверки назови смысл индексов: сначала указано всё множество, затем размер выбираемой группы.
Для работы с сочетаниями нужны факториал и умение сокращать выражения с факториалами. Также полезно знать размещения: через их число выводится формула сочетаний, потому что каждый набор при упорядоченном подсчёте повторяется k! раз. Это связывает разные способы считать варианты и помогает выбрать подходящую формулу для задачи.
Сочетания применяются при раскрытии бинома Ньютона: числа Cₙᵏ выступают его коэффициентами. В теории вероятностей ими подсчитывают число равновозможных исходов, когда порядок выбранных объектов неважен. Поэтому умение распознать сочетание помогает решать и задачи на подсчёт вариантов, и вероятностные задачи.
Чем сочетание отличается от размещения?
В сочетании важен только состав выбранной группы, а в размещении важны и состав, и порядок. Например, пара учеников А и Б — одно сочетание, но два размещения: АБ и БА.
Почему в формуле числа сочетаний нужно делить на k!?
При подсчёте размещений один и тот же набор из k элементов учитывается во всех k! порядках. Чтобы оставить один подсчёт для каждого набора, делим число размещений на k!.
Почему Cₙᵏ равно Cₙⁿ⁻ᵏ?
Выбрать k элементов — то же, что определить n − k элементов, которые останутся вне выбора. Каждой выбранной группе соответствует ровно одна группа оставшихся элементов.
Можно ли выбирать ноль элементов?
Да, это допустимо: k может быть равно нулю. Есть ровно один способ выбрать ноль элементов — ничего не брать, поэтому Cₙ⁰ = 1.
Как быстро вычислить сочетание, если k близко к n?
Используй симметрию Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ. Вместо выбора k элементов можно посчитать способы выбрать n − k элементов, а при близком к n значении k это обычно проще.
§ 63. Сочетания и их свойства
