"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Размещение — это выбор нескольких различных элементов из множества с учётом их порядка. Такой объект нужен в задачах, где выбранные элементы занимают разные позиции: например, книги расставляют на полке или участникам присваивают места. Число размещений из n элементов по k обозначают Aₙᵏ и вычисляют по формуле Aₙᵏ = n!/(n−k)! при 1 ≤ k ≤ n.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение — это упорядоченный выбор нескольких элементов из данного множества без повторений. Упорядоченный означает, что у выбранных элементов есть определённые места или роли. Это понятие используют, когда результат зависит не только от состава выбранных элементов, но и от их расположения.
Размещение из n элементов по k — это упорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из n имеющихся. Число k показывает, сколько элементов выбирают, а n — сколько элементов доступно вначале. Например, три книги, расставленные в определённом порядке из шести книг, образуют размещение из 6 по 3.
Число таких размещений обозначают Aₙᵏ и читают: «а из n по k». Это обозначение относится именно к количеству возможных упорядоченных выборов, а не к одному конкретному набору. С его помощью удобно записывать формулы и кратко решать задачи.
Размещение определено при натуральных числах n и k, для которых 1 ≤ k ≤ n. Нельзя выбрать больше элементов, чем есть в исходном множестве, поэтому случай k > n не подходит. Условие также означает, что выбирают хотя бы один элемент.
Рассмотрим элементы А, Б и В. Наборы АБ и БА содержат одни и те же буквы, но задают разный порядок, поэтому это два размещения. Причина различия в том, что первый и второй элементы занимают разные позиции, а позиции могут иметь разный смысл.
Чтобы вывести формулу, будем выбирать элементы по очереди. На первое место можно поставить любой из n элементов, на второе — любой из оставшихся n−1, на третье — один из n−2. Продолжая так до k-го места и применяя правило умножения, получаем Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1).
То же произведение можно записать через факториалы: Aₙᵏ = n!/(n−k)!. В числителе n! есть множители n, n−1 и так далее до n−k+1, а затем ещё множители n−k, …, 1. При делении общие множители сокращаются, и остаётся нужное произведение.
Если k = 1, выбирают только один элемент, поэтому Aₙ¹ = n. Если k = n, выбирают и расставляют все элементы, и формула принимает вид Aₙⁿ = n!/(0!) = n!, поскольку 0! = 1. Такое размещение называют перестановкой всех n элементов.
Размещение нельзя смешивать с сочетанием. Сочетание отвечает только на вопрос, какие элементы выбраны, поэтому перестановки одного набора там не создают новых вариантов. В размещении же порядок учитывается, поэтому каждому сочетанию из k элементов соответствуют k! разных размещений.
| Случай или характеристика | Что считать | Число вариантов |
|---|---|---|
| Выбор одного элемента | Один элемент из n возможных | Aₙ¹ = n |
| Выбор и упорядочивание k элементов из n | k различных элементов и их порядок | Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1) |
| Выбор и упорядочивание всех n элементов | Все элементы и порядок их расположения | Aₙⁿ = n! |
| Учитывается ли порядок | Сравнивается расположение выбранных элементов | Да |
Сначала определите, сколько элементов доступно и сколько позиций нужно заполнить. Затем найдите строку, соответствующую ситуации, и подставьте значения n и k в формулу.
Если выбирают не только состав группы, но и распределяют места или роли, порядок учитывается. Если порядок не меняет результат, нужна формула сочетаний, а не размещений.
Из пяти учеников выбирают одного старосту. Здесь требуется только один человек, поэтому порядок не успевает повлиять на результат. Задача соответствует размещению из 5 по 1.
Ответ: 5 способов. Каждый способ определяется тем, кто именно станет старостой.
Из шести разных книг выбирают три и расставляют их на полке. Книги должны быть различными, а их порядок важен, потому что левая, средняя и правая позиции различаются. Значит, нужно найти A₆³.
Ответ: 120 расстановок. Выбор одних и тех же трёх книг в другом порядке считается новой расстановкой.
Из восьми участников распределяют первое, второе и третье места. Хотя выбирают только трёх человек, каждый получает особую позицию, поэтому порядок имеет значение. Это размещение из 8 по 3, а не простой выбор трёх участников.
Ответ: 336 вариантов. Если победителей не распределять по местам, результат был бы меньше, потому что перестановки одной тройки не учитывались бы.
Считать переставленные наборы одинаковыми. Ошибка появляется, когда смотрят только на состав набора и забывают о позициях. Проверьте себя вопросом: изменится ли результат, если поменять элементы местами; если да, это разные размещения.
Использовать формулу сочетаний. При таком выборе обычно делят число размещений на k!, но это убирает различия между порядками. Сначала выясните, важны ли места или роли, и только при неважном порядке переходите к сочетаниям.
Допускать повторение элемента. Иногда один участник или предмет случайно записывается на несколько позиций. Проверьте условие: в обычном размещении каждый выбранный элемент встречается не более одного раза.
Применять формулу при k > n или менять местами n и k. Это происходит из-за невнимательного чтения обозначений. Убедитесь, что n — общее число доступных элементов, k — число выбранных, и выполнено 1 ≤ k ≤ n.
Для вывода формулы размещений нужно знать правило умножения: если действия выполняются последовательно, число результатов находят произведением числа вариантов на каждом шаге. Также нужен факториал: n! = n(n−1)…1, а 0! = 1.
Размещения помогают решать задачи на упорядоченный выбор, распределение мест и назначение ролей. Они связывают три близких понятия: сочетания не учитывают порядок, размещения учитывают порядок части элементов, а перестановки упорядочивают все элементы.
Чем размещение отличается от сочетания?
В размещении порядок выбранных элементов имеет значение, а в сочетании — нет. Например, последовательности АБ и БА являются разными размещениями, но одним сочетанием.
Почему при размещении порядок элементов важен?
Элементы занимают определённые места или выполняют разные роли. Поэтому перестановка выбранных элементов создаёт другой результат: первое и второе места нельзя считать одинаковыми.
Можно ли в размещении повторять один и тот же элемент?
Нет, в обычном размещении элементы должны быть различными. Если повторы разрешены, это уже другая разновидность задачи, для которой используется отдельная формула.
Как вывести формулу A_n^k?
Для первой позиции можно выбрать любой из n элементов, для второй — один из n−1 оставшихся, затем n−2 и так далее. Перемножение этих вариантов даёт Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1).
Почему A_n^n равно n!?
Если выбирают все n элементов, число множителей становится равным n: n(n−1)…1. Это произведение по определению равно n!, то есть числу перестановок всех элементов.
Размещения
