"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Первообразная помогает восстановить функцию по её производной: если F′(x) = f(x), то F называют первообразной для f на промежутке. У одной функции обычно не одна, а бесконечно много первообразных: они отличаются постоянным слагаемым C, которое исчезает при дифференцировании. Для поиска используют правила производных в обратном направлении, а ответ проверяют, снова находя производную. Если известно значение F в точке, можно определить C и получить одну конкретную функцию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция F называется первообразной для функции f на промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f(x). Например, для f(x) = 2x первообразной служит F(x) = x², потому что производная x² равна 2x. Проверка по определению помогает понять, верно ли подобрана функция. Условие должно выполняться на всём указанном промежутке, а не только в отдельной точке.
Если F — первообразная для f, то все первообразные этой функции на промежутке имеют вид F(x) + C, где C — постоянное число. Такое множество функций называют семейством первообразных. Например, для 2x это x² + C: выбор разных C даёт разные функции, но производная каждой равна 2x. Это обозначение нужно, чтобы записать не один пример, а сразу все возможные первообразные.
Число C называют постоянной интегрирования, или произвольной постоянной. При дифференцировании слагаемое C исчезает, так как производная постоянного числа равна нулю: (F(x) + C)′ = F′(x). Поэтому производная не позволяет восстановить, какое именно число было добавлено к функции. Если условие задачи задаёт значение первообразной в точке, оно помогает найти конкретное C.
Поиск первообразной начинается с вопроса: производной какой функции могла бы быть заданная f(x)? Это обратное направление по отношению к дифференцированию. Например, увидев 2x, можно вспомнить, что производная x² равна 2x. После подбора функцию полезно продифференцировать: так сразу становится ясно, совпал ли результат с исходным выражением.
У одной функции бесконечно много первообразных, потому что производная не замечает добавленную константу. Если F′(x) = f(x), то (F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f(x) при любом C. Более того, если две функции на промежутке имеют одну производную, они отличаются на постоянное слагаемое. Поэтому общий ответ записывают с C, а не ограничиваются одной найденной функцией.
Правила суммы и постоянного множителя при дифференцировании работают и в обратную сторону. Если первообразные для f и g найдены, их сумма будет первообразной для f + g, поскольку производная суммы равна сумме производных. Если число a постоянно, то из (aF)′ = aF′ следует, что первообразную для af можно получить, умножив первообразную для f на a. Эти правила позволяют разбирать выражение на удобные слагаемые.
Формулы производных основных функций применяют наоборот. Так как производная xⁿ⁺¹/(n + 1) равна xⁿ при n ≠ −1, первообразная степенной функции получается увеличением показателя на единицу и делением на новый показатель. Из равенств (−cos x)′ = sin x и (sin x)′ = cos x следуют формулы для простейших тригонометрических функций. Знаки важно сверять производной, особенно у синуса и косинуса.
Условие о значении первообразной выбирает одну функцию из семейства. Сначала находят общий вид F(x) с C, затем подставляют заданное значение аргумента и приравнивают результат известному значению функции. Получается уравнение с одной неизвестной — C. Найдя её, получают конкретную первообразную, удовлетворяющую условию.
На схеме первообразные для f(x) = x выглядят как параболы x²/2, сдвинутые вверх или вниз на постоянную величину. У всех таких кривых одна и та же производная x, поскольку вертикальный сдвиг не меняет наклон касательных. Семейство можно представить как набор графиков F(x) = x²/2 + C.
| Функция f(x) | Первообразная F(x) | Проверка производной |
|---|---|---|
| xⁿ, где n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C | (xⁿ⁺¹/(n + 1))′ = xⁿ |
| sin x | −cos x + C | (−cos x)′ = sin x |
| cos x | sin x + C | (sin x)′ = cos x |
| Сумма функций | F(x) + G(x) + C | (F + G)′ = f + g |
| Постоянный множитель | aF(x) + C | (aF)′ = af |
В таблице указаны общие формулы, а C добавляют к общему ответу. Для суммы сначала находят первообразные слагаемых, а множитель сохраняют перед соответствующим результатом. Проверка в третьем столбце показывает, какую производную нужно получить.
Разберём многочлен по слагаемым: так проще применить формулу для степенной функции и правило суммы. Чтобы найти одну первообразную, можно выбрать C = 0; добавлять постоянную в ответ не обязательно, если требуется только одна функция. В конце проверим результат производной.
Ответ: F(x) = 2x³ − 2x² + 3x — одна из первообразных заданной функции. Проверка показывает, что её производная точно совпадает с f(x). Если бы требовались все первообразные, следовало бы добавить C.
Здесь задана сумма степенной и тригонометрической функций, поэтому применим правило суммы. Для каждого слагаемого используем свою формулу и затем добавим одну произвольную постоянную. Слово «все» в условии означает, что C обязательно должно остаться в ответе.
Ответ: F(x) = x² + sin x + C, где C — любое число. При любом его значении производная останется равной заданной функции. Так проверяется, что записано именно всё семейство.
Точка на графике функции означает, что при x = 1 значение F равно 4. Сначала найдём семейство первообразных, а потом воспользуемся условием, чтобы выбрать одну функцию. Координаты точки зададут уравнение для постоянной C.
Ответ: F(x) = x³ − 2x + 5. Проверим условие: F(1) = 1 − 2 + 5 = 4, а производная F′(x) = 3x² − 2. Значит, функция и является первообразной, и проходит через заданную точку.
Если в задаче требуют все первообразные, нельзя записывать только один вариант без C. Такую ошибку допускают, потому что находят подходящую функцию и забывают, что прибавление константы не меняет производную. Проверьте формулировку задания: для всех первообразных оставьте + C, а для одной конкретной функции постоянную можно определить из условия.
В формуле для xⁿ показатель увеличивают на единицу, но делить нужно именно на новый показатель: результат равен xⁿ⁺¹/(n + 1) при n ≠ −1. Иногда степень увеличивают верно, но делитель забывают или оставляют прежним. Продифференцируйте полученное выражение: если вышло не xⁿ, значит формула применена неправильно.
При нахождении первообразных sin x и cos x легко перепутать знак: для sin x нужна функция −cos x, а для cos x — sin x. Ошибка возникает из-за попытки механически перенести название тригонометрической функции без проверки производной. Найдите производную ответа: (−cos x)′ = sin x, тогда как (cos x)′ = −sin x.
Не следует игнорировать условие на значение F в точке: оно не просто дополняет задачу, а позволяет выбрать одно значение C. Ученик может остановиться на общем семействе и не подставить координаты точки. Проверьте, что найденная функция принимает заданное значение при указанном x, а затем убедитесь дифференцированием, что её производная равна f(x).
Для работы с первообразными нужно знать определение производной, формулы производных основных функций и правила дифференцирования суммы и произведения на постоянное число. Именно эти правила используют в обратном направлении, а производная служит проверкой результата. Позже первообразные понадобятся при изучении определённого интеграла. Интегрирование применяют, в частности, в задачах геометрии и физики.
Как понять, что функция является первообразной для другой функции?
Нужно найти производную первой функции и сравнить её со второй. Если на всём рассматриваемом промежутке F′(x) = f(x), то F — первообразная для f.
Почему к первообразной нужно прибавлять произвольную постоянную?
Производная любой постоянной равна нулю, поэтому добавление числа не меняет производную. Все первообразные одной функции отличаются постоянным слагаемым C.
Как проверить, правильно ли найдена первообразная?
Найдите производную полученного выражения. Если она совпадает с заданной функцией на нужном промежутке, первообразная найдена верно.
Как найти первообразную суммы нескольких функций?
Найдите первообразную каждого слагаемого отдельно и сложите результаты. Постоянный множитель можно вынести за знак поиска первообразной.
Как определить постоянную интегрирования по значению функции в точке?
Сначала запишите общий вид первообразной с C. Подставьте координаты заданной точки, приравняйте выражение к известному значению и решите уравнение относительно C.
Первообразная
