"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Криволинейная трапеция — область под графиком непрерывной функции, ограниченная осью Ox и двумя вертикальными прямыми. Её площадь можно находить приближённо суммой площадей прямоугольников, а точно — определённым интегралом. Главный способ вычисления интеграла задаёт формула Ньютона — Лейбница: достаточно найти первообразную и вычесть её значение в нижнем пределе из значения в верхнем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Криволинейная трапеция — область, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. Неотрицательность означает f(x) ≥ 0 на всём отрезке [a; b]. Такое определение позволяет связать геометрическую площадь с вычислением интеграла.
Интегральная сумма — сумма произведений значений функции на длины частей отрезка: f(x₁)Δx₁ + f(x₂)Δx₂ + … + f(xₙ)Δxₙ. Каждое произведение приблизительно равно площади узкого прямоугольника под графиком. Поэтому интегральная сумма даёт приближённое значение площади.
Определённый интеграл — предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения отрезка. Его записывают так: ∫ₐᵇ f(x) dx, где a и b — нижний и верхний пределы интегрирования. Это число показывает накопленный результат действия функции на отрезке.
Формула Ньютона — Лейбница вычисляет определённый интеграл через первообразную F функции f: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Она заменяет предельный переход обычной подстановкой. Благодаря ей площадь можно находить точно, а не только приближённо.
Сначала отрезок [a; b] разбивают точками на несколько частей. Над каждой частью выбирают значение функции и строят прямоугольник с соответствующей шириной и высотой. Сумма площадей этих прямоугольников приближает площадь под графиком, потому что верхняя граница каждого прямоугольника почти совпадает с небольшим участком кривой.
При увеличении числа частей ширина прямоугольников уменьшается, поэтому график внутри каждой части отклоняется от верхней стороны всё меньше. Разность между настоящей площадью и площадью прямоугольников также уменьшается. Если функция непрерывна, это приближение имеет определённый предел, не зависящий от способа всё более мелкого разбиения.
Предел интегральных сумм и называют определённым интегралом. Для неотрицательной непрерывной функции все маленькие площади имеют положительный смысл и складываются без взаимного уничтожения. Поэтому ∫ₐᵇ f(x) dx равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком, осью Ox и прямыми x = a, x = b.
Связь интеграла с первообразной объясняет формула Ньютона — Лейбница. Если F′(x) = f(x), то разность F(b) − F(a) показывает накопленный результат функции от a до b, то есть предел интегральных сумм. Практически вычисление выполняют так: находят первообразную F(x), подставляют верхний предел b, затем нижний предел a и вычитают второе значение из первого.
Например, запись ∫ₐᵇ f(x) dx означает не подстановку a и b в исходную функцию. Сначала нужно получить F(x), а уже затем вычислить F(b) − F(a). Если пределы поменять местами, знак изменится: ∫ᵇₐ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx.
| Понятие или случай | Условие или смысл | Как действовать |
|---|---|---|
| Площадь криволинейной трапеции | График y = f(x), ось Ox и прямые x = a, x = b; f(x) ≥ 0 | Записать площадь как ∫ₐᵇ f(x) dx |
| Интегральная сумма | Сумма произведений высот прямоугольников на их ширины | Разбить [a; b] на части и сложить приближённые площади |
| Определённый интеграл | Предел интегральных сумм при измельчении разбиения | Обозначить предел как ∫ₐᵇ f(x) dx |
| Формула Ньютона — Лейбница | F′(x) = f(x) | Вычислить F(b) − F(a) |
| Площадь при неотрицательной функции | f(x) ≥ 0 на всём отрезке | Площадь равна определённому интегралу |
Таблица помогает сначала определить, с каким понятием связана задача, а затем выбрать действие. Перед вычислением проверьте знак функции и найдите первообразную, если требуется точное значение интеграла.
Если функция принимает отрицательные значения, правило для площади из последней строки применяют только к участкам, где график находится выше оси Ox. Участки под осью рассматривают отдельно и берут их площади положительными.
Найти площадь фигуры под графиком y = 2x на отрезке [0; 3]. Функция неотрицательна на этом отрезке, поэтому площадь можно сразу выразить интегралом.
Ответ: S = 9 квадратных единиц.
Вычислить ∫₁³ (x² + 2x) dx. Здесь требуется найти значение интеграла, а не площадь, поэтому знак функции дополнительно проверять не обязательно.
Ответ: 50/3.
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x² − 1, осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2. График пересекает ось Ox внутри отрезка, поэтому один общий интеграл даст разность площадей, а не их сумму.
Ответ: S = 4/3 квадратных единиц.
Ошибка: считать площадь равной интегралу, не проверив знак функции. Так поступают, потому что интеграл часто называют площадью под графиком, но при f(x) < 0 он учитывает отрицательный вклад. Проверьте значение функции на отрезке и разделите его в точках пересечения с осью Ox.
Ошибка: вычислять F(a) − F(b) вместо F(b) − F(a). Причина обычно в механической подстановке пределов без понимания их порядка. Запишите сначала значение в верхнем пределе, затем поставьте знак минус перед значением в нижнем.
Ошибка: подставлять пределы в исходную функцию. Интеграл вычисляют не по f(x), а по её первообразной F(x), поэтому сначала выполните интегрирование. Проверка проста: производная найденной F(x) должна совпадать с подынтегральной функцией.
Ошибка: не разделять отрезок в точках смены знака. Тогда площади над и под осью Ox могут взаимно вычесться. Найдите корни функции на заданном отрезке и вычислите вклад каждого участка отдельно.
Для изучения интеграла нужны понятия непрерывной функции и первообразной, а также таблица первообразных основных функций. Без умения проверять производную найденной первообразной легко ошибиться в вычислениях. Поэтому интеграл опирается на темы о производной и её приложениях.
Интеграл соединяет геометрию и анализ: площадь фигуры превращается в число, вычисляемое через первообразную. Дальше этот метод используется для площадей фигур, ограниченных несколькими графиками, а также в задачах на накопление величины.
Чем определённый интеграл отличается от неопределённого?
Неопределённый интеграл — это множество всех первообразных функции, например ∫f(x) dx = F(x) + C. Определённый интеграл — конкретное число, связанное с отрезком [a; b]: ∫ₐᵇ f(x) dx.
Почему интегральные суммы позволяют найти площадь?
Каждый небольшой прямоугольник приближённо заменяет часть области под графиком. Чем уже прямоугольники, тем меньше ошибка приближения, а предел суммы их площадей даёт точную площадь.
Как понять, можно ли считать интеграл площадью фигуры?
Если функция непрерывна и неотрицательна на всём отрезке, то её определённый интеграл равен площади под графиком. При отрицательных значениях интеграл учитывает знак, поэтому для площади нужно отдельно рассматривать участки.
Почему в формуле Ньютона — Лейбница вычитают значение в нижнем пределе?
Первообразная накапливает величину от начальной точки до текущей. Поэтому прирост на отрезке [a; b] равен F(b) − F(a), то есть значению в конце минус значению в начале.
Что делать, если график пересекает ось Ox внутри отрезка?
Нужно найти точки пересечения с осью Ox и разделить отрезок на части. Площадь находят как сумму площадей отдельных участков, используя модули интегралов там, где функция отрицательна.
§ 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление
