"Алгебра и начала математического анализа", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Определённый интеграл позволяет вычислять площади фигур, ограниченных графиками функций и прямыми. Идея состоит в том, чтобы разделить область на узкие полосы и сложить их площади; при бесконечном измельчении сумма становится точной. Для фигуры под графиком неотрицательной функции интегрируют саму функцию, а для области между графиками — разность верхней и нижней функций. Если удобнее рассматривать горизонтальные полосы, интегрируют по y.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. Прямые задают левую и правую границы области, а отрезок [a; b] — промежуток, на котором рассматривается график. Эти границы нужны, чтобы однозначно указать, какую именно часть плоскости считать.
Площадь криволинейной трапеции — величина, равная S = ∫ₐᵇ f(x) dx, если f(x) ≥ 0 на всём отрезке [a; b]. Знак ∫ обозначает определённый интеграл: в этой задаче он накапливает площади узких полос от x = a до x = b. Формула превращает геометрическую задачу в вычисление интеграла.
Площадь фигуры между графиками — площадь области, ограниченной графиками y = f(x) и y = g(x). Если на промежутке [a; b] график f расположен выше графика g, то S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Такая запись учитывает высоту области в каждой точке: расстояние между графиками.
Площадь в интегрировании по y находят горизонтальными полосами. Если правая граница задана уравнением x = φ(y), а левая — x = ψ(y), то S = ∫ᶜᵈ (φ(y) − ψ(y)) dy. Этот способ удобен, когда границы области проще задать через y, чем через x.
Представим криволинейную трапецию разделённой вертикальными отрезками на узкие полосы шириной Δx. На коротком промежутке график меняется не слишком сильно, поэтому каждую полосу можно приблизить прямоугольником. Его высота примерно равна значению f(x) в выбранной точке, а площадь — произведению этой высоты на Δx. Чем уже полосы, тем точнее прямоугольники повторяют форму границы.
Сложим площади всех прямоугольников: получим приближённую площадь фигуры. Если ширину полос последовательно уменьшать, приближение становится всё точнее, потому что криволинейная граница отклоняется от прямых сторон прямоугольников всё меньше. Предел этих сумм и называется определённым интегралом функции на данном отрезке. Поэтому интеграл не просто похож на площадь: он получается как предел её приближённых измерений.
Для площади между графиками сначала нужно найти, где начинается и заканчивается ограниченная область. Точки пересечения удовлетворяют уравнению f(x) = g(x); их абсциссы часто и становятся пределами интегрирования. Затем выясняют, какой график выше внутри промежутка, например, сравнивают значения функций в пробной точке. Если порядок меняется, место смены разделяет область на части с разными формулами площади.
При вертикальных полосах высота каждой полосы — разность значений верхнего и нижнего графиков. Поэтому площадь равна интегралу верхней функции минус нижняя, а не наоборот: на всём промежутке эта разность должна быть неотрицательной. При обратном порядке интеграл может оказаться отрицательным, хотя геометрическая площадь остаётся положительной. Если функция расположена ниже оси Ox, интеграл от неё тоже даёт значение со знаком, поэтому площадь считают отдельно по участкам или берут модуль интеграла на каждом участке.
Можно нарезать область не вертикально, а горизонтально. Тогда ширина полосы равна расстоянию от левой границы до правой, то есть x справа минус x слева, а её малая сторона имеет длину Δy. Выбор переменной зависит от формы области: если вертикальные полосы пересекают границу несколькими участками или требуют сложных формул, горизонтальные могут упростить вычисления. Удобнее тот способ, который позволяет выразить границы проще и сократить число разбиений.
| Вид фигуры и полос | Границы интегрирования | Подынтегральное выражение | Формула площади |
|---|---|---|---|
| Под графиком y = f(x) ≥ 0, вертикальные полосы | x от a до b | f(x) | S = ∫ₐᵇ f(x) dx |
| Между графиками y = f(x) и y = g(x), вертикальные полосы | x от точек пересечения a до b | верхняя функция − нижняя функция | S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx |
| Между границами x = φ(y) и x = ψ(y), горизонтальные полосы | y от c до d | правая граница − левая граница | S = ∫сᵈ (φ(y) − ψ(y)) dy |
| Область разделена на части, где меняются границы или порядок графиков | Отдельные промежутки для каждой части | Разность соответствующих верхней и нижней либо правой и левой границ | Сумма интегралов площадей частей |
Сначала определите, как устроена граница фигуры и где находятся точки её пересечения. Затем выберите направление полос: формула должна описывать их длину неотрицательным выражением. Если внутри области порядок границ меняется, примените формулу отдельно на каждом участке и сложите результаты.
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком y = x², осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2. График параболы на этом отрезке не опускается ниже оси Ox, поэтому площадь можно найти одним интегралом под графиком. Ширина области задана прямыми x = 0 и x = 2.
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками y = x и y = x². Чтобы получить пределы интегрирования, сначала найдём точки пересечения, а затем определим, какой график расположен выше. Это позволит записать интеграл как площадь полос между кривыми.
Задача 3. Найти площадь области, ограниченной графиками y = x² и y = 2 − x². Здесь можно рассуждать двумя способами: использовать вертикальные полосы или выразить границы через y и взять горизонтальные. Сравнение помогает выбрать более простой вариант.
Интегрировать функцию ниже оси Ox и считать результат площадью — ошибка, потому что определённый интеграл учитывает знак. Её допускают, путая геометрическую площадь с накопленным значением функции. Проверьте знак функции на промежутке и, если он меняется, разделите интеграл в точках пересечения с осью.
Вычитать верхнюю функцию из нижней — значит получить отрицательную высоту полосы. Обычно это происходит, если порядок графиков не проверили на промежутке. Подставьте пробное значение x и убедитесь, что подынтегральная разность неотрицательна.
Выбрать пределы интегрирования, не найдя точек пересечения, — значит рисковать описать только часть фигуры или захватить лишнюю область. Границы иногда принимают за очевидные, хотя это не всегда так. Решите уравнение равенства функций и проверьте, что именно между найденными точками область ограничена.
Использовать одну разность на всём промежутке, когда графики меняются местами, нельзя: на одном участке она будет отрицательной. Ошибку допускают, проверив порядок функций лишь в одной точке. Сравните графики на каждом участке между пересечениями и запишите отдельный интеграл там, где порядок меняется.
Для вычисления площадей необходимы понятие определённого интеграла, его геометрический смысл и умение вычислять интегралы по формуле Ньютона — Лейбница. Интеграл связывает площадь с пределом сумм узких полос, а формула Ньютона — Лейбница позволяет найти её численно через первообразную. Без этих знаний геометрическую задачу нельзя довести до вычислений.
Нужно уметь строить графики функций и находить точки их пересечения. График помогает увидеть границы области и понять, какая функция расположена выше или правее. Алгебраическое решение уравнения пересечения даёт точные пределы интегрирования.
Площади, найденные интегрированием, применяются в геометрических задачах и показывают, как интеграл измеряет величины, собранные из малых частей. Тот же подход используется далее при вычислении объёмов и других величин: фигуру делят на тонкие слои, а затем складывают их вклад. Выбор подходящих полос остаётся важным и в этих задачах.
Почему площадь под графиком вычисляется определённым интегралом?
Область можно приближённо разделить на узкие прямоугольные полосы, площадь каждой из которых равна примерно высоте, умноженной на ширину. Определённый интеграл задаёт предел таких сумм при неограниченном измельчении полос, поэтому даёт точную площадь.
Что делать, если график функции проходит ниже оси Ox?
Интеграл от функции на таком участке учитывает знак и может быть отрицательным, а площадь отрицательной не бывает. Разбейте промежуток в точках пересечения графика с осью Ox и складывайте площади участков, взяв модуль интеграла там, где функция ниже оси.
Как определить, какой график верхний, а какой нижний?
Найдите точки пересечения графиков и выберите точку внутри рассматриваемого промежутка. Сравните значения функций: где f(x) > g(x), график y = f(x) расположен выше. Если порядок меняется, разделите область в точке пересечения.
Когда нужно разбивать область на несколько частей?
Разбиение нужно, если графики меняются местами, границы области меняются или функция пересекает ось Ox. На каждом участке записывают отдельный интеграл с правильным порядком вычитания. Затем складывают полученные неотрицательные площади.
Как понять, удобнее интегрировать по x или по y?
Представьте область вертикальными и горизонтальными полосами. Выберите направление, при котором границы полос проще выразить через переменную интегрирования и не придётся разбивать область на лишние части. По x интегрируют разность верхней и нижней функций, по y — правой и левой границ.
§ 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов
