"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
График функции можно строить не только по таблице значений, но и преобразовывать уже известный график. Переносы, симметрия, растяжение и сжатие позволяют быстро получать графики новых функций из базовых. Главное — понимать, как изменения внутри аргумента и перед всей функцией влияют на координаты точек. Эти правила помогают исследовать функции, находить область определения, множество значений, нули и асимптоты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование графика функции — изменение положения или масштаба исходного графика по заданному правилу. Например, график можно сдвинуть, отразить или растянуть. Это нужно, чтобы строить новые функции на основе уже известных, не вычисляя множество отдельных точек.
Параллельный перенос графика — сдвиг всех его точек на один и тот же вектор. Если каждая точка получает одинаковую прибавку к абсциссе или ординате, форма графика не меняется. Такой перенос описывают формулами y = f(x − a) и y = f(x) + b.
Симметрия графика — отражение графика относительно оси координат или начала координат. При отражении относительно Ox меняются знаки ординат, а относительно Oy — знаки абсцисс. Понятие помогает быстро строить графики чётных и нечётных функций.
Растяжение и сжатие графика — изменение расстояний точек от оси координат или оси абсцисс. Множитель перед функцией меняет вертикальные расстояния, а множитель в аргументе — горизонтальные. Поэтому по месту множителя можно определить, какие координаты изменяются.
Рассмотрим y = f(x) + b. У исходной точки с координатами (x, f(x)) абсцисса остаётся прежней, а ордината становится f(x) + b. Поэтому все точки перемещаются вертикально на одинаковое расстояние: вверх при положительном b и вниз при отрицательном.
В записи y = f(x − a) число a находится внутри аргумента, поэтому его знак нельзя читать как направление готового сдвига. Чтобы получить прежнее значение функции f(x₀), нужно решить x − a = x₀, откуда x = x₀ + a. Значит, исходная точка переходит вправо на a, хотя внутри формулы стоит минус.
Множитель перед функцией действует на результат вычисления. Для точки (x, f(x)) новая ордината равна c·f(x), а абсцисса не меняется. При |c| > 1 расстояния от Ox увеличиваются, при 0 < |c| < 1 уменьшаются; если c отрицательно, одновременно появляется отражение относительно Ox.
Замена x на −x означает, что для новой точки берётся значение исходной функции в противоположной абсциссе. Поэтому точка (x, f(x)) соответствует точке (−x, f(x)), то есть отражается относительно Oy. Знак минус перед всей функцией меняет f(x) на −f(x), и точка отражается относительно Ox.
Сложную функцию удобно строить от простого образца. Сначала выделяют базовый график, затем учитывают преобразования аргумента, вертикальный множитель и свободное слагаемое, каждый раз отслеживая координаты характерных точек. После построения проверяют область определения, вершины, нули и асимптоты.
В таблице точка (x, y) обозначает точку исходного графика, а новая пара координат показывает, куда она переходит. Для формул с отрицательными множителями учитывайте не только масштаб, но и возможную симметрию.
| Функция | Преобразование | Изменение координат точки | Геометрический результат |
|---|---|---|---|
| y = f(x) + b | Добавление числа к значению функции | (x, y) → (x, y + b) | Перенос вверх на b или вниз на |b| |
| y = f(x − a) | Замена аргумента на x − a | (x, y) → (x + a, y) | Перенос вправо на a, при a < 0 — влево |
| y = −f(x) | Умножение значения функции на −1 | (x, y) → (x, −y) | Симметрия относительно Ox |
| y = f(−x) | Замена аргумента на −x | (x, y) → (−x, y) | Симметрия относительно Oy |
| y = c·f(x) | Умножение ординат на c | (x, y) → (x, cy) | Вертикальное растяжение или сжатие |
| y = f(cx) | Умножение аргумента на c | (x, y) → (x/c, y) | Горизонтальное сжатие или растяжение |
Если в формуле несколько преобразований, удобно применять их последовательно и после каждого шага записывать, что происходит с координатами. Особое внимание уделяйте скобкам: множитель перед всей функцией и множитель внутри аргумента действуют на разные координаты.
Условие: построить график функции y = √(x − 1) + 2.
Ответ: график y = √x переносится вправо на 1 и вверх на 2; область определения x ≥ 1, множество значений y ≥ 2.
Условие: построить график y = |2x − 4| − 3 и указать область определения и множество значений.
Ответ: V-образный график с вершиной (2, −3), область определения: x ∈ R, множество значений: y ≥ −3.
Условие: построить график y = (x + 1)/(x − 2), найти асимптоты и область определения.
Ответ: асимптоты x = 2 и y = 1; область определения x ∈ R, x ≠ 2.
Сдвиг y = f(x − a) влево. Ошибку вызывает буквальное чтение знака внутри скобок. Проверьте её уравнением x − a = x₀: новая абсцисса равна x₀ + a, значит, сдвиг направлен вправо.
Смешение множителей. Множитель перед функцией изменяет ординаты, а множитель при x — абсциссы. Для проверки возьмите произвольную точку и явно вычислите, какая координата изменилась.
Забывание области определения. После переноса корня, дроби или логарифма допустимые значения аргумента тоже меняются. Подставьте новую формулу в ограничения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, знаменатель — ненулевым.
Построение без проверки ключевых точек. Один неверный перенос меняет весь график, хотя форма может казаться знакомой. Проверьте вершину или начало, нули функции, несколько характерных точек и асимптоты, если они есть.
До изучения преобразований нужны понятия функции, области определения и координат точки, а также навыки построения элементарных графиков. Без базового графика трудно увидеть, какое изменение внесла новая формула.
Тема помогает исследовать функции и решать уравнения и неравенства графическим методом. По взаимному положению графиков можно находить корни, промежутки знакопостоянства и число решений.
Позже преобразования пригодятся при изучении параметров, производной и графического анализа функций. Они позволяют быстро сравнивать формы графиков и понимать влияние отдельных коэффициентов.
Почему график y = f(x − 3) переносится вправо, а не влево?
Если точка исходного графика имеет абсциссу x₀, то для новой функции нужно получить тот же аргумент: x − 3 = x₀. Значит, x = x₀ + 3, поэтому каждая точка смещается вправо на 3.
Как понять, какое преобразование выполнять первым?
Сначала выделите базовую функцию, например √x, |x| или 1/x. Затем записывайте преобразования в том порядке, в котором они применяются к графику: изменения аргумента отвечают за горизонтальные координаты, а действия со значением функции — за вертикальные.
Чем отличается растяжение графика по вертикали от растяжения по горизонтали?
Множитель перед функцией изменяет ординаты: y = c·f(x) растягивает или сжимает график вдоль оси Oy. Множитель внутри аргумента изменяет абсциссы: y = f(cx) действует вдоль оси Ox, причём при |c| > 1 график сжимается по горизонтали.
Можно ли построить график сложной функции без составления таблицы значений?
Да, если функция представлена через известную базовую функцию и её преобразования. Достаточно последовательно переносить, отражать и масштабировать базовый график, проверяя несколько характерных точек.
Как после преобразований определить область определения и множество значений?
Область определения находят из допустимых значений аргумента: подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен нулю, а аргумент логарифма положителен. Множество значений можно определить по графику, учитывая вертикальные переносы, растяжения и положение вершины или асимптот.
7. Построение графиков функций
