"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
График функции показывает, какое значение y соответствует каждому допустимому значению x: его точками служат пары (x; f(x)). Чтобы построить более сложный график, часто не нужно заново вычислять много точек: достаточно преобразовать график знакомой функции. Переносы, растяжения, сжатия и отражения помогают быстро получить нужное изображение, а затем исследовать свойства функции и решать уравнения и неравенства по графику.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График функции y = f(x) — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x — допустимое значение аргумента. Чтобы получить точку по формуле, выбирают x, подставляют его в функцию и вычисляют y. Например, для y = x² при x = 2 получаем точку (2; 4). Так формула связывается с изображением на плоскости.
Параллельный перенос графика — преобразование, при котором каждая его точка смещается на один и тот же вектор, то есть одинаково по горизонтали и вертикали. Например, прибавление числа к функции передвигает график вверх или вниз. Перенос удобен, когда новая формула отличается от знакомой постоянным слагаемым. Он сохраняет форму графика, меняя только его положение.
Растяжение и сжатие графика — изменение расстояний его точек от оси координат или начала координат. Умножение значения функции меняет расстояния по вертикали, а умножение аргумента — по горизонтали. Если расстояния увеличиваются, говорят о растяжении; если уменьшаются — о сжатии. Это помогает понять, как меняется форма графика без построения каждой точки заново.
Отражение графика — получение симметричного изображения относительно оси координат. Замена f(x) на −f(x) меняет знак ординаты и отражает график относительно Ox, а замена x на −x отражает его относительно Oy. Отражение позволяет быстро учитывать отрицательный знак в формуле. Оно также помогает распознавать симметрию графиков.
Равенство y = f(x) задаёт правило: каждому допустимому x сопоставляется значение y. Поэтому построение графика означает размещение всех точек (x; f(x)), а не только вычисление нескольких отдельных значений. Когда формула меняется, можно проследить, как изменяются координаты уже знакомых точек. Это и позволяет рассматривать преобразование формулы как преобразование графика.
В формуле y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляется одно и то же число. Значит, точка (x; y) переходит в точку (x; y + b): абсцисса остаётся прежней, а ордината меняется на b. При b > 0 точки поднимаются, а при b < 0 опускаются. Поскольку сдвиг одинаков для всех точек, форма графика сохраняется.
В выражении y = f(x − a) старое значение f(t) получится, если новый аргумент x удовлетворяет x − a = t. Отсюда x = t + a, то есть прежняя точка (t; f(t)) переходит в (t + a; f(t)). Поэтому при a > 0 график сдвигается вправо, хотя внутри скобок стоит знак минус; при a < 0 он сдвигается влево. Проверка через координаты помогает не перепутать направление.
При y = c f(x) значение функции, то есть ордината, умножается на c, а x не меняется. Если c > 1, точки дальше отходят от Ox; если 0 < c < 1, они приближаются к ней. При c < 0 знак каждой ординаты меняется, поэтому график отражается относительно Ox, а модуль c задаёт вертикальный масштаб. Например, при c = −2 расстояния до оси удваиваются и точки оказываются по другую сторону от неё.
В формуле y = f(kx) изменяется аргумент, поэтому для получения прежнего значения f(t) нужно взять x = t/k. Следовательно, абсциссы точек становятся в k раз меньше по модулю: при |k| > 1 график сжимается к Oy, а при 0 < |k| < 1 растягивается. Если k < 0, абсциссы меняют знак, и добавляется отражение относительно Oy. Так видна причина обратного изменения горизонтального масштаба.
| Формула | Преобразование графика y = f(x) | Как меняются координаты точки (x; y) |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | Перенос на b по вертикали | (x; y) → (x; y + b) |
| y = f(x − a) | Перенос на a по горизонтали | (x; y) → (x + a; y) |
| y = c f(x) | Вертикальное растяжение или сжатие; при c < 0 отражение относительно Ox | (x; y) → (x; cy) |
| y = f(kx) | Горизонтальное сжатие или растяжение; при k < 0 отражение относительно Oy | (x; y) → (x/k; y) |
| y = |f(x)| | Части ниже Ox отражаются вверх | (x; y) → (x; |y|) |
| y = f(|x|) | Правая половина отражается относительно Oy | При x ≥ 0: (x; y) и (−x; y) |
В таблице формулы читаются как правила перехода от знакомой точки к новой. Для горизонтального преобразования особенно полезно подставить конкретную точку и проверить её абсциссу. При нескольких изменениях применяйте их последовательно и отмечайте ключевые точки на каждом шаге.
Сначала узнаём знакомую функцию: y = x² задаёт параболу с вершиной (0; 0). В новой формуле вместо x стоит x − 2, значит, график перемещается на 2 единицы вправо. Вершина при этом становится точкой (2; 0).
Затем рассматриваем прибавленную единицу: она увеличивает каждую ординату на 1. Поэтому парабола поднимается на 1 единицу, и её вершина переходит из (2; 0) в (2; 1). Остальные точки также сдвигаются вверх на 1.
Для проверки можно взять точки исходной параболы (−1; 1) и (1; 1). После обоих переносов они становятся (1; 2) и (3; 2), поэтому график симметричен относительно прямой x = 2. Строим параболу с вершиной (2; 1), направленную вверх.
Ответ: график y = x², перенесённый на 2 вправо и на 1 вверх.
Внутри синуса стоит 3x, поэтому сначала строим горизонтальное сжатие в 3 раза. Период исходного синуса 2π становится равным 2π/3, так как аргумент достигает прежних значений втрое быстрее. Например, точка с абсциссой π/2 переходит к абсциссе π/6.
Множитель 2 увеличивает модуль ординат вдвое. Амплитуда, то есть наибольшая высота волны над осью Ox, становится равной 2. Затем знак минус меняет знак каждой ординаты, отражая полученный график относительно Ox.
Отметим нули: 3x = πn, значит x = πn/3, где n — целое число. В пределах одного периода важны точки x = 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3: значения функции чередуют 0, −2, 0, 2, 0. По этим точкам строим плавную синусоиду и повторяем её с периодом 2π/3.
Ответ: синусоида с амплитудой 2 и периодом 2π/3, отражённая относительно Ox.
Сначала строим исходную параболу y = x² − 4: это парабола y = x², сдвинутая вниз на 4. Её нули находятся из x² − 4 = 0, то есть x = −2 и x = 2; между ними график расположен ниже Ox. Для y = |x² − 4| эту часть отражаем вверх, а части вне отрезка [−2; 2] оставляем без изменения.
Во второй формуле имеется в виду функция y = (x² − 4)(|x|), то есть исходное выражение x² − 4 с аргументом |x|: y = |x|² − 4. Для x ≥ 0 она совпадает с правой половиной параболы y = x² − 4. Для x < 0 берём зеркальное отражение этой половины относительно Oy.
В обоих случаях нули расположены при x = −2 и x = 2, а графики симметричны относительно Oy. Но во втором случае значения между нулями остаются отрицательными, тогда как модуль в первом графике делает их неотрицательными. Сравнение этих точек позволяет проверить, что преобразования не перепутаны.
Ответ: в первом графике нижняя часть параболы отражена вверх; во втором правая половина y = x² − 4 зеркально повторена слева.
При построении y = f(x − a) иногда сдвигают график влево при a > 0. Это происходит потому, что знак минус внутри скобок ошибочно воспринимают как направление переноса. Проверка проста: для сохранения прежнего аргумента t решите x − a = t и получите x = t + a. Значит, точка перемещается вправо.
В формуле y = c f(x) ошибочно умножают абсциссы на c. Путают множитель перед функцией с множителем при аргументе, хотя в первом случае умножается результат f(x). Сравните координаты: x остаётся тем же, а y становится cy. Если точка (1; 3) при c = 2 оказалась на новой кривой как (2; 3), построение неверно.
Для y = f(kx) при |k| > 1 иногда предполагают растяжение по горизонтали. Ошибка возникает из-за прямого переноса привычки: большой множитель кажется увеличением расстояния. Но для прежнего аргумента t требуется x = t/k, поэтому абсциссы уменьшаются и график сжимается к Oy. Проверьте, что характерная точка (t; f(t)) переходит в (t/k; f(t)).
Для y = |f(x)| ошибочно отражают относительно Ox весь график. Модуль не меняет уже положительные значения и равные нулю, а меняет только отрицательные на противоположные. Поэтому части над Ox сохраняют положение, а части под ней отражают вверх. Проверка по точкам: новая ордината должна быть |y|, то есть не может быть отрицательной.
Для построения преобразований нужно уметь изображать основные графики функций и находить координаты точек по формуле. Эти приёмы затем используют при исследовании функций: определяют их нули, промежутки возрастания и другие свойства. По графикам также решают уравнения и неравенства, сравнивая значения функций или точки пересечения. Знание чётности помогает распознать симметрию относительно Oy: у чётной функции f(−x) = f(x).
Почему график y=f(x-3) сдвигается вправо, а не влево?
Для точки нового графика значение функции берётся при аргументе x − 3. Чтобы получить прежнее значение f(t), нужно взять x = t + 3, поэтому каждая точка (t; f(t)) переходит в (t + 3; f(t)). Значит, график сдвигается вправо на 3.
Как определить направление сдвига, если число прибавлено внутри аргумента?
Запишите выражение внутри функции в виде x − a. Например, x + 4 = x − (−4), поэтому это сдвиг влево на 4 единицы. Знак переноса по горизонтали противоположен знаку числа, стоящего рядом с x в скобках.
Чем отличаются преобразования y=2f(x) и y=f(2x)?
В y = 2f(x) удваиваются ординаты точек: график растягивается по вертикали от оси Ox. В y = f(2x) вдвое уменьшаются абсциссы соответствующих точек, поэтому график сжимается к оси Oy.
Что происходит с графиком, если множитель перед функцией отрицательный?
Ордината каждой точки меняет знак, а абсцисса остаётся прежней. Поэтому график отражается относительно оси Ox; если модуль множителя не равен 1, одновременно меняется вертикальный масштаб.
Как построить график y=|f(x)|, если исходный график пересекает ось Ox?
Части графика, лежащие выше оси Ox и на ней, оставляют без изменения. Каждую часть ниже оси отражают симметрично вверх, а точки пересечения с Ox остаются на месте.
§ 45. Построение графиков функций
