§ 46. Нахождение наибольших и наименьших значений функций

Определения и обозначения

Наибольшее значение функции на множестве — значение, которое функция принимает в некоторой точке этого множества и которое не меньше всех остальных её значений. Иначе говоря, если f(a) — наибольшее значение, то для любой допустимой точки x выполняется f(x) ≤ f(a). Это понятие помогает определить верхнюю границу значений, которую функция действительно достигает.

Наименьшее значение функции на множестве — значение, которое функция принимает в некоторой его точке и которое не больше всех остальных значений. Если f(b) — наименьшее значение, то для каждой точки x из множества верно f(b) ≤ f(x). Оно нужно, чтобы найти самую низкую достигнутую величину, например минимальную стоимость или минимальную длину.

Критическая точка функции — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. В такой точке график может иметь максимум или минимум, но это происходит не обязательно. Критические точки проверяют потому, что именно внутри промежутка возможная смена возрастания на убывание или наоборот может влиять на искомые значения.

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке — значения функции, которые достигаются в точках отрезка и сравниваются со всеми значениями на нём. Отрезок включает оба конца, поэтому их значения тоже участвуют в сравнении. Это позволяет найти абсолютный максимум и минимум, то есть значения, наибольшие и наименьшие на всём отрезке, а не только рядом с отдельной точкой.

Как это устроено

На отрезке непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений, но заранее неизвестно, где именно. Если искомое значение достигается внутри отрезка и график в этой точке гладкий, то функция не может продолжать возрастать или убывать в одном направлении: иначе рядом нашлась бы точка с ещё большим или меньшим значением. Поэтому в такой точке производная равна нулю; если производной нет, точку тоже проверяют как возможное место экстремума.

Критические точки находят по производной. Сначала вычисляют f′(x), затем решают уравнение f′(x) = 0 и отдельно выясняют, где производная не существует, но исходная функция определена. Например, если производная содержит знаменатель, её может не быть при нулевом знаменателе; такую точку можно включить в поиск только тогда, когда сама функция там имеет смысл. Так не пропускают возможные кандидаты и не принимают за них точки, в которых функция вовсе не задана.

Для поиска на отрезке составляют список кандидатов: оба конца отрезка и все критические точки, лежащие строго внутри него. Концы входят в список, поскольку на границе функция может достичь самого большого или самого маленького значения, даже если производная там не равна нулю. Внутренние точки включают по условию о возможном экстремуме, а принадлежность отрезку проверяют до вычислений.

В каждой точке списка находят значение исходной функции, а затем сравнивают полученные числа. Самое большое из них и будет наибольшим значением, самое маленькое — наименьшим; сама точка показывает, где значение достигается. Критические точки за пределами отрезка не учитывают: они не принадлежат множеству, на котором поставлена задача, даже если являются экстремумами функции на всей области определения.

На открытом промежутке ситуация может быть другой, потому что его концы не входят в множество. Функция способна приближаться к некоторому числу при приближении к границе, но не принимать его ни в одной допустимой точке. Поэтому приближающееся значение не становится наибольшим или наименьшим: для этого оно должно быть достигнуто в точке самого множества.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пользуйся таблицей по порядку: переходи к следующему этапу после того, как выполнил предыдущий. В конце сравнивай именно значения функции, а не координаты точек. Если кандидат не принадлежит отрезку, его из списка исключают.

Разбор задач

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [0; 3]. Квадратичная функция может иметь вершину внутри отрезка, поэтому проверим её критическую точку и оба конца. Затем сравним значения в этих трёх точках.

1. Вычислим производную: f′(x) = 2x − 4. Из уравнения 2x − 4 = 0 получаем x = 2; точка лежит внутри [0; 3].
2. Найдём значения на концах и в критической точке: f(0) = 1, f(2) = 4 − 8 + 1 = −3, f(3) = 9 − 12 + 1 = −2.
3. Сравним числа 1, −3 и −2. Самое большое — 1, самое маленькое — −3.

Ответ: наибольшее значение равно 1 при x = 0, наименьшее равно −3 при x = 2. Здесь минимум достигается внутри отрезка, а максимум — на его конце.

Задача 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x на отрезке [−2; 2]. Поскольку кубическая функция может иметь несколько критических точек, найдём их все и проверим, какие лежат внутри отрезка. После этого сравним значения на концах и в критических точках.

1. Производная равна f′(x) = 3x² − 3. Решаем 3x² − 3 = 0: x² = 1, откуда x = −1 и x = 1; обе точки принадлежат отрезку.
2. Вычислим значения: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(2) = 2.
3. Самое большое полученное число — 2, самое маленькое — −2. Оба значения встречаются более чем в одной точке.

Ответ: наибольшее значение равно 2 при x = −1 и x = 2; наименьшее значение равно −2 при x = −2 и x = 1. Равенство значений в разных точках не меняет того, какое из них является наибольшим или наименьшим.

Задача 3

Прямоугольник имеет периметр 20. Нужно найти его наибольшую возможную площадь. Обозначим одну сторону через x, другую выразим из условия о периметре, а затем будем искать максимум площади на допустимом промежутке. Длины сторон должны быть положительными, поэтому учитываем границы этой области отдельно.

1. Если стороны равны x и y, то 2x + 2y = 20, значит, y = 10 − x. Положительность сторон даёт 0 < x < 10.
2. Площадь равна S(x) = x(10 − x) = −x² + 10x. Производная S′(x) = −2x + 10 обращается в ноль при x = 5, и эта точка допустима.
3. При x = 5 получаем y = 5 и S = 25. На границах x = 0 и x = 10 площадь стремилась бы к нулю; для допустимых положительных сторон площадь положительна, поэтому найденное значение 25 — наибольшее.

Ответ: наибольшая возможная площадь равна 25 квадратным единицам; она достигается у квадрата со сторонами 5 и 5. Такой разбор показывает, как задачу о величинах свести к поиску максимума функции.

Типичные ошибки

Первая ошибка — проверять только критические точки и забывать концы отрезка. Так поступают, потому что производная помогает искать экстремумы внутри, но на границе это условие не требуется. Проверь себя: в итоговом списке должны быть оба конца отрезка, даже если производная там ненулевая.

Вторая ошибка — учитывать критическую точку, которая лежит за пределами заданного отрезка. Она может быть важна при исследовании функции в целом, но не участвует в сравнении на рассматриваемом множестве. Проверь координату каждой точки по границам отрезка и вычеркни всё, что ему не принадлежит.

Третья ошибка — считать, что f′(x) = 0 автоматически означает максимум или минимум. Производная может обращаться в ноль, а функция при этом не менять направление; кроме того, экстремум может быть не самым большим или не самым маленьким значением на всём отрезке. Проверь значение функции в этой точке и сравни его со значениями во всех остальных точках списка.

Четвёртая ошибка — путать локальный экстремум с абсолютным значением на отрезке. Локальный максимум превосходит значения лишь поблизости от своей точки, тогда как у конца отрезка функция может иметь ещё большее значение. Чтобы проверить ответ, сравнивай все вычисленные числа, а не делай вывод только по виду графика рядом с критической точкой.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь находить производную, решать уравнения и вычислять значения функции. Метод опирается на исследование монотонности и экстремумов: производная помогает обнаружить внутренние точки, где направление изменения функции может смениться. Затем проверка концов и сравнение значений дают ответ для всего отрезка. Этот подход применяют в задачах оптимизации, когда требуется найти наибольшую прибыль, площадь, объём или скорость.

Что запомнить

• На отрезке наибольшее и наименьшее значения достигаются.
• Для поиска экстремальных значений на отрезке проверяют его концы и внутренние критические точки.
• Критическими считаются внутренние точки, где производная равна нулю или не существует.
• Критические точки вне отрезка не учитывают.
• В каждой точке-кандидате вычисляют значение функции.
• Наибольшее и наименьшее значения определяют сравнением всех найденных значений.