§ 44. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Определения и обозначения

Стационарная точка — внутренняя точка области определения функции, в которой f′(x) = 0. Такие точки проверяют, потому что там функция может изменить направление: перейти от возрастания к убыванию или наоборот. Но нулевая производная сама по себе ещё не доказывает, что это произошло.

Точка экстремума — точка, в которой функция достигает локального максимума или локального минимума, то есть вблизи неё значение функции соответственно не больше или не меньше остальных близких значений. Наибольшее или наименьшее значение на всей области — более широкое понятие: оно сравнивает значения функции во всей области, а не только рядом с одной точкой. Поэтому локальный экстремум не обязательно является наибольшим или наименьшим значением функции.

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; убывает, если большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Промежутки монотонности показывают, как меняется функция в разных частях области определения. Их находят, в частности, по знаку производной.

Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки используют как границы при разбиении области на промежутки, чтобы отдельно исследовать знак производной на каждом из них. Точка, в которой сама функция не определена, критической точкой не является, хотя разрывает область определения.

Как это устроено

Знак производной связан с изменением функции: положительная производная означает, что при движении вправо значения функции растут, отрицательная — что они убывают. Это следует из смысла производной как скорости изменения функции. Если знак производной сохраняется на промежутке, функция сохраняет там одно направление изменения.

Сначала находят область определения и производную. Затем решают уравнение f′(x) = 0 и отмечают внутренние точки, где производная не существует, но функция определена. Эти значения вместе с точками разрыва области помогают выделить промежутки, на каждом из которых знак производной можно проверить отдельно.

Для исследования монотонности определяют знак производной на каждом полученном промежутке: например, подставляют пробное значение или упрощают выражение и анализируют его множители. Там, где f′(x) > 0, записывают возрастание функции, а где f′(x) < 0 — убывание. Такой вывод относится только к промежуткам, лежащим в области определения.

Если производная слева от точки положительна, а справа отрицательна, функция перед точкой возрастает, а после неё убывает. Поэтому в самой точке получается локальный максимум. При переходе от отрицательного знака к положительному функция сначала убывает, затем возрастает, и достигается локальный минимум.

Нулевая производная не всегда означает экстремум: у f(x) = x³ производная равна нулю при x = 0, но функция возрастает по обе стороны от этой точки. Бывает и наоборот: у f(x) = |x| производная в нуле не существует, однако функция там достигает минимума. В обоих случаях вывод делают по поведению функции и знакам производной с разных сторон, а не только по значению производной в точке.

Знак производной и поведение функции

Сначала определите знак производной на каждом промежутке, а затем сравните знаки по обе стороны от проверяемой точки. Для точки, где знак не меняется, таблица не позволяет заключить о наличии экстремума. Сама по себе положительная или отрицательная производная описывает монотонность на промежутке, а не наличие экстремума в его произвольной точке.

Разбор задач

Исследовать на монотонность функцию f(x) = x² − 4

1. Область определения — все действительные числа. Находим производную: f′(x) = 2x.
2. Решаем 2x = 0 и получаем стационарную точку x = 0. Она разбивает числовую прямую на промежутки (−∞; 0) и (0; +∞).
3. При x < 0 производная отрицательна, значит, функция убывает; при x > 0 она положительна, значит, функция возрастает. Знак меняется с минуса на плюс, поэтому в x = 0 находится минимум, f(0) = −4.

Ответ: функция убывает на (−∞; 0) и возрастает на (0; +∞); точка минимума — x = 0, значение минимума равно −4. Производная задаёт направление изменения на каждом промежутке. Смена знака показывает, что точка разделяет убывающую и возрастающую части графика.

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x) = x³ − 3x

1. Область определения — все действительные числа. Производная равна f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), поэтому стационарные точки: x = −1 и x = 1.
2. Эти точки разбивают прямую на промежутки (−∞; −1), (−1; 1) и (1; +∞). Проверяем знак произведения: на первом промежутке производная положительна, на среднем отрицательна, на последнем положительна.
3. Функция возрастает на первом и третьем промежутках, убывает на среднем. В x = −1 знак меняется с плюса на минус, а в x = 1 — с минуса на плюс.

Ответ: локальный максимум достигается при x = −1, f(−1) = 2; локальный минимум — при x = 1, f(1) = −2. Промежутки возрастания: (−∞; −1) и (1; +∞), промежуток убывания: (−1; 1). Значения функции в точках экстремума можно найти подстановкой в исходную формулу.

Исследовать функцию f(x) = x + 1/x и найти экстремумы

1. Область определения: x ≠ 0, поэтому её части рассматриваем отдельно. Производная f′(x) = 1 − 1/x² = (x − 1)(x + 1)/x².
2. Производная равна нулю при x = −1 и x = 1; при x = 0 она не существует, но сама функция там тоже не определена. Проверяем знаки на промежутках (−∞; −1), (−1; 0), (0; 1) и (1; +∞).
3. Поскольку x² > 0 при x ≠ 0, знак производной задаёт числитель: он положителен вне отрезка между −1 и 1 и отрицателен внутри него. Значит, функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 0) и (0; 1).
4. При x = −1 знак меняется с плюса на минус, а при x = 1 — с минуса на плюс. Точку x = 0 экстремумом считать нельзя: функция в ней не определена.

Ответ: локальный максимум достигается при x = −1 и равен −2; локальный минимум — при x = 1 и равен 2. Разрыв разделяет область определения, поэтому промежутки по разные стороны от нуля исследуются отдельно. Даже если производная не существует в точке, сначала нужно проверить, определена ли там сама функция.

Типичные ошибки

Ошибка — объявлять каждую точку, где f′(x) = 0, точкой экстремума. Так поступают, потому что нулевая производная часто встречается в вершинах графика, но она может быть и при сохранении монотонности. Проверка: найдите знаки производной слева и справа; если они не меняются, экстремума нет.

Ошибка — пропускать точки, в которых производная не существует. Можно решить, что для исследования подходят только корни уравнения f′(x) = 0, хотя негладкая точка тоже может быть местом экстремума. Проверьте все внутренние точки области определения, где производная не существует, и сравните поведение функции по сторонам.

Ошибка — включать точку разрыва в промежутки, на которых исследуют функцию. Причина обычно в том, что её принимают за обычную критическую точку и забывают об области определения. До построения промежутков найдите область определения: точку, где функция не определена, нельзя включать ни в один промежуток её монотонности.

Ошибка — определять максимум или минимум только по значению производной в самой точке. Производная может быть равна нулю или не существовать, а эти сведения не показывают смену направления. Сверьте знаки слева и справа: плюс сменяется минусом для максимума, минус — плюсом для минимума.

Связь с другими темами

Для исследования монотонности нужны определение производной, правила её нахождения и понимание того, что означает её знак. Если эти навыки освоены, анализ сводится к вычислениям и проверке знаков на промежутках. Полученные сведения помогают при построении графиков: показывают, где график поднимается, опускается и меняет направление.

Монотонность и экстремумы применяют также в задачах на наибольшее и наименьшее значения. Однако локальный максимум или минимум не всегда оказывается наибольшим или наименьшим значением на всей рассматриваемой области. Поэтому при решении таких задач проверяют все подходящие точки и учитывают границы области.

Что запомнить

• Если f′(x) > 0 на промежутке, функция на нём возрастает.
• Если f′(x) < 0 на промежутке, функция на нём убывает.
• Критические точки помогают разбить область определения на промежутки для исследования.
• Смена знака f′ с плюса на минус означает локальный максимум.
• Смена знака f′ с минуса на плюс означает локальный минимум.
• Равенство f′(x) = 0 само по себе не гарантирует экстремум.