§ 43. Уравнение касательной к графику функции

Определения и обозначения

Касательная к графику функции — прямая, которая в точке касания имеет с графиком общее направление; для дифференцируемой функции её наклон определяется производной. Иными словами, рядом с точкой касания график и прямая направлены одинаково, даже если дальше они расходятся. Это понятие позволяет описать поведение функции около выбранной точки с помощью прямой.

Точка касания — точка графика с абсциссой x₀, в которой проводят касательную; её координаты равны (x₀; f(x₀)). Здесь x₀ задаёт положение точки по горизонтальной оси, а f(x₀) — её высоту. Эти координаты нужны, чтобы касательная проходила через нужную точку графика.

Угловой коэффициент касательной — число k = f′(x₀), задающее наклон касательной к оси Ox. Производную сначала находят как функцию от x, а затем вычисляют при x = x₀. Коэффициент k нужен для записи уравнения прямой и показывает, насколько быстро меняется функция около точки.

Уравнение касательной — уравнение прямой y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), проведённой к графику функции в точке с абсциссой x₀. В нём объединены координаты точки графика и наклон касательной. Подстановка значений x₀, f(x₀) и f′(x₀) даёт конкретное уравнение прямой.

Как это устроено

Чтобы узнать наклон касательной в точке x₀, используют производную функции в этой точке. Производная описывает мгновенную скорость изменения функции: её можно представить как предел наклонов секущих, проведённых через выбранную точку и соседние точки графика. Когда соседние точки приближаются к точке касания, секущие приближаются по направлению к касательной. Поэтому значение f′(x₀) становится угловым коэффициентом касательной.

Одного наклона для определения прямой недостаточно: множество прямых могут иметь одинаковый наклон. Касательная должна ещё проходить через точку графика (x₀; f(x₀)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через (x₀; y₀), записывается как y − y₀ = k(x − x₀). Подставляя y₀ = f(x₀) и k = f′(x₀), получаем формулу касательной.

Формула y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) соединяет значение функции и её производной в одной точке. Здесь f(x₀) определяет ординату точки, а f′(x₀) — наклон прямой. Поэтому в производную нужно подставить именно x₀, а не оставлять произвольную переменную x: касательная строится для конкретной точки, и её наклон в других местах может быть иным.

Если f′(x₀) = 0, член с x − x₀ исчезает, и уравнение становится y = f(x₀). Это горизонтальная прямая, потому что её угловой коэффициент равен нулю. Однако горизонтальная касательная не доказывает, что функция достигла максимума или минимума: для вывода об экстремуме нужно отдельно исследовать поведение функции по обе стороны от точки.

В задаче сначала выясняют, где находится точка касания: иногда её абсцисса дана, а иногда её нужно найти из условия. Затем отдельно вычисляют значение функции и значение производной при найденном x₀. После этого подставляют оба числа в формулу касательной и упрощают выражение. Такой порядок помогает не перепутать координаты точки с наклоном прямой.

Данные для составления уравнения касательной

Пользуйтесь таблицей как последовательностью действий: сначала определите x₀, затем найдите координаты точки и наклон. Подстановка этих данных в формулу даёт уравнение прямой. В конце проверьте, что при x = x₀ уравнение касательной даёт y = f(x₀).

Разбор задач

Касательная к графику y = x² при x₀ = 1

Условие. Найдите уравнение касательной к графику y = x² в точке с абсциссой x₀ = 1. Сначала нужно определить, через какую точку проходит прямая, а затем узнать её наклон. Для этого вычислим функцию и её производную при одном и том же значении x₀.

1. Найдём ординату точки касания: f(1) = 1² = 1. Значит, точка графика имеет координаты (1; 1). Касательная должна проходить через неё.
2. Найдём производную: f′(x) = 2x. Подставим x₀ = 1 и получим f′(1) = 2, то есть угловой коэффициент касательной равен 2.
3. Подставим значения в формулу: y = 1 + 2(x − 1). Раскроем скобки и приведём подобные: y = 2x − 1. Проверка при x = 1 даёт y = 1, как и должно быть.

Ответ: y = 2x − 1.

Касательная к графику y = x³ − 3x при x₀ = 2

Условие. Составьте уравнение касательной к графику y = x³ − 3x в точке с абсциссой x₀ = 2. Производная многочлена позволит найти наклон, а значение исходной функции — координаты точки. После подстановки представим прямую в виде y = kx + b.

1. Вычислим значение функции: f(2) = 2³ − 3 · 2 = 8 − 6 = 2. Точка касания — (2; 2), поэтому свободное слагаемое в формуле касательной начинается со значения 2.
2. Найдём производную: f′(x) = 3x² − 3. При x = 2 получаем f′(2) = 3 · 4 − 3 = 9. Значит, наклон касательной равен 9.
3. Составим уравнение: y = 2 + 9(x − 2). Раскроем скобки: y = 2 + 9x − 18 = 9x − 16. Подстановка x = 2 даёт y = 2, значит, прямая проходит через точку касания.

Ответ: y = 9x − 16.

Касательные, параллельные прямой y = 6x + 1

Условие. Найдите точки графика y = x³ − 3x², в которых касательная параллельна прямой y = 6x + 1, и запишите уравнения касательных. Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, поэтому сначала найдём точки, в которых производная равна 6. Для каждого решения отдельно вычислим координату y и составим касательную.

1. Производная функции равна f′(x) = 3x² − 6x. У заданной прямой y = 6x + 1 угловой коэффициент 6, поэтому решим уравнение 3x² − 6x = 6. После деления на 3 получаем x² − 2x − 2 = 0.
2. Решения квадратного уравнения: x = 1 ± √3. Это абсциссы точек касания, поскольку при каждой из них производная равна 6. Теперь найдём ординату: f(x) = x³ − 3x². Используя x² = 2x + 2 и x³ = 6x + 2, получаем f(x) = 2 − 2x.
3. Для x₀ = 1 + √3 имеем f(x₀) = −2√3, а для x₀ = 1 − √3 имеем f(x₀) = 2√3. В обоих случаях наклон равен 6. Подставим координаты в формулу касательной: для первой точки y = −2√3 + 6(x − 1 − √3) = 6x − 6 − 8√3.
4. Для второй точки формула даёт y = 2√3 + 6(x − 1 + √3) = 6x − 6 + 8√3. Обе прямые имеют коэффициент 6, поэтому параллельны заданной прямой. Проверка по формуле производной подтверждает, что других абсцисс нет.

Ответ: точки (1 + √3; −2√3) и (1 − √3; 2√3); касательные y = 6x − 6 − 8√3 и y = 6x − 6 + 8√3 соответственно.

Типичные ошибки

Иногда в формулу подставляют только f′(x₀) и забывают f(x₀). Тогда наклон может оказаться верным, но прямая не обязана проходить через точку графика; ошибку допускают, принимая наклон за полное уравнение. Проверьте координату точки и подставьте её в полученную прямую: при x = x₀ должно выйти y = f(x₀).

Другая ошибка — вычислять производную в произвольном x или оставлять её значение незамещённым. Так происходит, когда переменную в производной путают с абсциссой точки касания. Наклон нужен именно в выбранной точке, поэтому после нахождения f′(x) обязательно вычислите f′(x₀).

Можно перепутать точку касания и угловой коэффициент: координаты точки равны (x₀; f(x₀)), а коэффициент — f′(x₀). Эти величины отвечают на разные вопросы: где находится прямая и как она наклонена. Перед подстановкой выпишите их отдельно и проверьте, что ордината найдена по исходной функции, а не по производной.

Наконец, ошибаются со знаком в скобках x − x₀ или при раскрытии скобок. Такая ошибка меняет положение прямой и часто возникает при подстановке отрицательного x₀. Раскройте скобки внимательно, а затем проверьте прохождение прямой через (x₀; f(x₀)); эта проверка выявляет неверный знак.

Связь с другими темами

Для построения касательной нужны навыки нахождения производных элементарных функций и вычисления значений функции и производной в точке. Поэтому полезно освоить правила дифференцирования и подстановку чисел в выражения. Уравнение касательной показывает геометрический смысл производной: число f′(x₀) превращается в наклон прямой.

Этот способ применяют при исследовании графиков и поиске точек, где касательная горизонтальна. Он связан с задачами на экстремумы, хотя нулевая производная сама по себе ещё не гарантирует максимум или минимум. Производная также описывает скорость изменения величин, а касательная даёт наглядную модель этого изменения в выбранный момент.

Что запомнить

• Касательная к графику y = f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет наклон f′(x₀).
• Точка касания имеет координаты (x₀; f(x₀)).
• Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
• Производную в формуле вычисляют при x = x₀.
• При f′(x₀) = 0 касательная горизонтальна: y = f(x₀).
• Полученная прямая должна проходить через точку касания.