§ 29. Уравнение касательной к графику функции

Определения и обозначения

Касательная к графику функции — прямая, которая в точке касания имеет с графиком одинаковое направление. Это означает, что на очень небольшом участке около выбранной точки график можно приблизить этой прямой. Такое приближение помогает оценить поведение функции рядом с точкой и понять её наклон.

Точка касания — точка графика, в которой проводят касательную; её абсцисса обозначается a, а координаты записываются как (a; f(a)). Первая координата задаёт выбранное значение аргумента, вторая показывает значение функции при этом аргументе. Эти координаты нужны, чтобы прямая проходила именно через выбранную точку графика.

Угловой коэффициент касательной — число, характеризующее наклон прямой к оси Ox. Для касательной в точке с абсциссой a он равен f'(a), то есть значению производной в этой точке. По знаку и величине коэффициента можно судить, в какую сторону и насколько круто направлена касательная.

Уравнение касательной — уравнение прямой, проведённой к графику функции в заданной точке. Если абсцисса точки касания равна a, оно имеет вид y = f(a) + f'(a)(x − a). Формула одновременно задаёт точку, через которую проходит прямая, и её наклон.

Как это устроено

Чтобы увидеть, почему график приближается прямой, сравним изменения функции и линейной функции около x = a. При небольшом изменении аргумента на Δx изменение функции приближённо равно f'(a) · Δx. Это следует из смысла производной: отношение приращения функции к приращению аргумента становится близким к f'(a), когда Δx мало. Поэтому рядом с точкой значение функции можно приближённо представить как f(a) + f'(a) · Δx.

Производная определяет наклон касательной потому, что её значение получается как предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Геометрически такое отношение задаёт наклон прямой, соединяющей две близкие точки графика. Когда вторая точка приближается к первой, секущая — прямая через две точки графика — поворачивается к положению касательной. Её угловой коэффициент становится равным f'(a).

Уравнение прямой через точку (x₀; y₀) с угловым коэффициентом k записывается так: y − y₀ = k(x − x₀). Для касательной известны точка (a; f(a)) и коэффициент f'(a), поэтому в это уравнение подставляют x₀ = a, y₀ = f(a), k = f'(a). После преобразования получаем y = f(a) + f'(a)(x − a). Формула не случайна: при x = a её правая часть равна f(a), значит, прямая проходит через точку касания.

Для составления уравнения сначала находят значение функции в выбранной точке, затем вычисляют производную и подставляют в неё абсциссу a. Полученное значение f'(a) становится угловым коэффициентом, а координаты (a; f(a)) — точкой, через которую должна пройти прямая. После этого остаётся подставить числа в формулу касательной и упростить выражение. Такой порядок помогает не перепутать значение функции с производной.

Слово «касательная» не означает, что у прямой с графиком обязательно должна быть только одна общая точка. Совпадение направления относится к выбранной точке, а дальше график может изгибаться и пересекать касательную ещё раз. Например, у графика y = x³ касательная в точке с абсциссой 1 пересекает график также при x = −2. Поэтому проверять касание нужно по наклону и прохождению через заданную точку, а не по числу пересечений.

Элементы уравнения касательной в точке x = a

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала определи абсциссу, затем найди ординату и наклон. После этого подставь найденные значения в формулу прямой. В конце проверь, что при x = a уравнение даёт y = f(a).

Разбор задач

Задача 1

Составить уравнение касательной к графику y = x² в точке с абсциссой 1. Сначала нужно определить координаты точки, а затем найти наклон касательной. Для этого используем производную и общую формулу касательной.

1. Обозначим f(x) = x². Значение функции в точке: f(1) = 1² = 1, поэтому точка касания — (1; 1).
2. Найдём производную: f'(x) = 2x. При x = 1 получаем f'(1) = 2, значит, угловой коэффициент касательной равен 2.
3. Подставим данные в формулу: y = 1 + 2(x − 1). Раскроем скобки и упростим: y = 2x − 1.

Ответ: y = 2x − 1. Проверка показывает, что при x = 1 прямая даёт y = 1, а её наклон равен 2.

Задача 2

Составить уравнение касательной к графику y = x³ − 2x в точке с абсциссой 2. Здесь функция не проходит через начало координат при выбранном x, поэтому особенно важно отдельно вычислить ординату точки. Затем найдём производную, чтобы определить наклон.

1. Вычислим значение функции: f(2) = 2³ − 2 · 2 = 8 − 4 = 4. Точка касания имеет координаты (2; 4).
2. Найдём производную: f'(x) = 3x² − 2. Подставим x = 2: f'(2) = 3 · 2² − 2 = 10, поэтому угловой коэффициент равен 10.
3. Запишем уравнение: y = 4 + 10(x − 2). После упрощения получаем y = 10x − 16.

Ответ: y = 10x − 16. Подстановка x = 2 даёт y = 4, как и должно быть для точки графика.

Задача 3

Найти абсциссы точек графика y = x³ − 3x, в которых касательная параллельна прямой y = 9x + 1, и составить уравнения этих касательных. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, а у заданной прямой коэффициент равен 9. Значит, сначала нужно найти точки, где производная функции равна 9.

1. Найдём производную функции: f'(x) = 3x² − 3. Приравняем её к 9: 3x² − 3 = 9, откуда x² = 4 и x = −2 или x = 2.
2. Для x = 2 вычислим f(2) = 8 − 6 = 2. Касательная имеет вид y = 2 + 9(x − 2), то есть y = 9x − 16.
3. Для x = −2 получаем f(−2) = −8 + 6 = −2. Тогда y = −2 + 9(x + 2), то есть y = 9x + 16.

Ответ: абсциссы −2 и 2; касательные y = 9x + 16 и y = 9x − 16. Обе прямые параллельны заданной, потому что коэффициент при x в каждом уравнении равен 9.

Типичные ошибки

• Подстановка f'(x) вместо f'(a) оставляет наклон выражением с переменной, хотя коэффициент касательной в заданной точке должен быть числом. Так ошибаются, когда находят производную, но забывают вычислить её значение. Проверь, что в уравнении прямой коэффициент перед скобками — конкретное число.

• Замена точки (a; f(a)) на (a; a) неверна: абсцисса и ордината обычно различаются. Ошибка возникает, если считать, что обе координаты равны заданному числу. Для проверки подставь a в исходную функцию и убедись, что ордината точки равна f(a).

• Если записать y = f'(a)(x − a), прямая обычно не пройдёт через точку касания, потому что в формуле потеряно слагаемое f(a). Это случается, когда помнят наклон, но забывают положение прямой. Подставь x = a: результат обязан быть равен f(a), иначе уравнение неверно.

• Нельзя считать, что касательная обязана иметь с графиком только одну общую точку. Такое представление появляется из бытового смысла слова «касаться», но в математике важно совпадение направлений в выбранной точке. Проверяй значение производной в этой точке; дополнительные пересечения сами по себе не опровергают касание.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь находить производную и вычислять её значение при заданном аргументе: именно оно задаёт наклон касательной. Также пригодится уравнение прямой через точку с известным угловым коэффициентом и понимание параллельности прямых. Позже уравнение касательной используют при исследовании функций и приближённых вычислениях. Оно также помогает описывать скорость изменения величин в задачах.

Что запомнить

• Касательная проводится к графику функции в заданной точке.
• Точка касания имеет координаты (a; f(a)).
• Угловой коэффициент касательной равен f'(a).
• Уравнение касательной: y = f(a) + f'(a)(x − a).
• Касательная проходит через точку графика с абсциссой a.
• Для составления уравнения нужны значение функции и значение её производной в точке.