"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Производная показывает, как быстро меняется функция при изменении аргумента, и помогает находить скорость, исследовать графики и строить касательные. Чтобы вычислять её, не приходится каждый раз заново находить предел: для степеней и постоянных есть готовые формулы, а для суммы, произведения, частного и сложной функции — отдельные правила. Главное — распознать устройство выражения и применить правила в правильном порядке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: f′(x) = lim при h→0 (f(x + h) − f(x))/h. Её обозначают f′(x) или y′, если y = f(x). Это число показывает мгновенную скорость изменения функции и помогает понять, как ведёт себя график рядом с точкой.
Правило производной суммы и разности утверждает: (u + v)′ = u′ + v′ и (u − v)′ = u′ − v′. Здесь u и v — функции одного аргумента, а штрих означает их производную. Правило позволяет разбирать выражение на части и вычислять производную каждого слагаемого отдельно, не теряя знаков.
Правило произведения двух функций записывают так: (uv)′ = u′v + uv′. Для частного действует формула (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², причём v ≠ 0. Эти правила нужны, когда переменные выражения умножаются или делятся: производные множителей нельзя просто перемножить, а знаменатель в формуле частного обязательно возводится в квадрат.
Сложная функция получается, когда одна функция подставлена в другую, например y = (x² + 1)⁵. Если y = f(g(x)), то y′ = f′(g(x)) · g′(x): сначала учитывают изменение внешней функции, затем внутренней. Это правило нужно для выражений, где аргументом степени, корня или другой функции служит не просто x, а целое выражение.
В основе вычисления производной лежит её определение через предел, но для часто встречающихся функций предел уже вычислен заранее. Поэтому можно пользоваться готовыми формулами, например производной степени, и сочетать их с правилами для действий. Это экономит вычисления и уменьшает риск ошибок в громоздком предельном переходе. При этом формулы не отменяют определение: они позволяют быстро получить тот же результат.
Правило суммы и разности следует из линейности предела: предел суммы равен сумме пределов, если эти пределы существуют. Поэтому можно отдельно найти производные слагаемых, а затем сложить их или вычесть. Если перед функцией стоит число, оно сохраняется: (cu)′ = cu′. Например, при дифференцировании −3x² коэффициент −3 остаётся перед производной x².
В произведении оба множителя могут меняться одновременно. Изменение всего произведения складывается из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при сохранении второго, затем меняется второй при сохранении первого. Поэтому формула имеет вид (uv)′ = u′v + uv′. Если перемножить производные, эти два вклада не учтутся, и ответ обычно окажется неверным.
Для частного учитывают изменение числителя и знаменателя, причём рост знаменателя уменьшает значение дроби. В формуле это отражено вычитанием: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Квадрат знаменателя появляется при преобразовании предела для разности дробей и обеспечивает правильный масштаб изменения частного. Условие v ≠ 0 обязательно, потому что исходная функция в точках с нулевым знаменателем не определена.
Сложную функцию удобно рассматривать как последовательность двух изменений: сначала x меняет значение g(x), затем это значение меняет f. Поэтому скорости этих изменений перемножаются: (f(g(x)))′ = f′(g(x))g′(x). В производной внешней функции внутреннее выражение пока оставляют без изменения, а после этого домножают на производную внутреннего. Так учитывается, насколько быстро меняется сама подстановка.
| Функция y | Производная y′ |
|---|---|
| c, где c — постоянная | 0 |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ |
| u(x) + v(x) | u′(x) + v′(x) |
| u(x) − v(x) | u′(x) − v′(x) |
| u(x)v(x) | u′(x)v(x) + u(x)v′(x) |
| u(x)/v(x), где v(x) ≠ 0 | (u′(x)v(x) − u(x)v′(x))/v²(x) |
| f(g(x)) | f′(g(x))g′(x) |
Чтобы выбрать формулу, сначала посмотрите на выражение целиком: например, дробь требует правила частного, а степень от выражения — правила сложной функции. Затем найдите производные тех частей, которые входят в выбранное правило. Если внутри части есть отдельные действия, применяйте формулы к ним последовательно.
Задача 1. Найти производную функции y = 5x⁴ − 3x² + 7. Выражение представляет собой разность и сумму слагаемых, поэтому удобно дифференцировать каждое из них отдельно. Коэффициенты при степенях сохраняются, а постоянное слагаемое исчезает при дифференцировании.
Ответ: y′ = 20x³ − 6x.
Задача 2. Найти производную функции y = (x² + 1)(3x − 2). Здесь перемножены две функции, поэтому применяем правило произведения, а не умножаем производные друг на друга. Обозначим первый множитель u = x² + 1, второй — v = 3x − 2.
Ответ: y′ = 9x² − 4x + 3.
Задача 3. Найти производную функции y = (2x + 1)⁵/(x² + 1). Это частное, а числитель одновременно является сложной функцией: степень применяется к выражению 2x + 1. Знаменатель x² + 1 всегда положителен, поэтому частное определено при всех действительных x.
Ответ: y′ = 2(2x + 1)⁴(5x² − 2x + 5)/(x² + 1)².
Для вычисления производной нужны понятия предела, приращения аргумента и функции: через них определяется сама производная. Также необходимо узнавать элементарные функции и пользоваться формулами для степеней. После освоения правил производные применяют при исследовании функции: по знаку производной находят промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума. В задачах физики и других наук производная описывает скорость изменения величины, а в геометрии помогает строить касательную к графику.
Почему производную произведения нельзя найти простым перемножением производных?
При изменении обоих множителей меняется всё произведение, поэтому нужно учесть вклад каждого из них. Формула имеет вид (uv)′ = u′v + uv′, а не u′v′. Например, для x · x производная равна 2x, а не x².
В каком порядке применять правила, если функция содержит несколько действий?
Сначала определите, как выражение устроено целиком: это сумма, произведение, частное или сложная функция. Примените соответствующее правило, а затем вычислите производные отдельных частей. Если внутри части есть новое сложное выражение, примените правило ещё раз.
Почему при дифференцировании сложной функции нужно умножать на производную внутренней?
Внутреннее выражение само меняется при изменении x и влияет на скорость изменения всей функции. Поэтому правило цепочки учитывает и изменение внешней функции, и скорость изменения внутренней. Например, (x² + 1)⁵′ = 5(x² + 1)⁴ · 2x.
Можно ли использовать формулу производной частного, если знаменатель равен нулю?
Нет: в точках, где знаменатель равен нулю, само частное не определено, поэтому формула там неприменима. Сначала укажите область, где знаменатель не равен нулю. Производную частного находят только в этой области.
Как проверить, правильно ли вычислена производная сложного выражения?
Проверьте, что распознали все действия и применили к каждому нужное правило, особенно правило цепочки. Подставьте простое значение x, допустимое для функции, и сравните результат с вычислением производной по определению или численной оценкой изменения функции. Такой тест помогает заметить пропущенный множитель или ошибку в знаке.
§ 28. Вычисление производных
