§ 41. Вычисление производных

Определения и обозначения

Производная функции — предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Если функция обозначена f(x), её производную записывают f′(x); для функции y используют обозначение y′. Производная показывает, насколько быстро меняется значение функции около выбранной точки. Поэтому она нужна для описания скорости изменения и изучения графика.

Производная суммы функций равна сумме их производных: (f + g)′ = f′ + g′. Это правило позволяет не искать предел для всей суммы сразу, а рассматривать каждое слагаемое отдельно. Для разности действует похожее правило: производные вычитаются. Такой способ особенно удобен, когда выражение состоит из знакомых функций.

Производная произведения двух функций равна сумме двух произведений: (fg)′ = f′g + fg′. Сначала производную одного множителя умножают на другой множитель, затем прибавляют произведение первого множителя на производную второго. Это правило нужно, когда функция записана как произведение выражений, каждое из которых можно дифференцировать отдельно.

Производная частного вычисляется по формуле (f/g)′ = (f′g − fg′)/g², если g(x) ≠ 0. В числителе стоят два перекрёстных произведения, между которыми ставится знак минус, а знаменатель возводится в квадрат. Формула позволяет находить производную отношения без преобразования его в более сложное выражение. Условие g(x) ≠ 0 одновременно напоминает, что исходная дробь определена не при всех x.

Как это устроено

В определении производной сначала сравнивают значения функции в точках x и x + h, а затем делят их разность на h. Получается средняя скорость изменения функции на маленьком промежутке. Когда h стремится к нулю, промежуток сжимается, и средняя скорость переходит в мгновенную скорость изменения. Находить такой предел заново для каждой функции долго, поэтому для вычислений используют готовые формулы и правила.

Постоянная функция не меняется при изменении x: разность её значений всегда равна нулю. Значит, и отношение приращений равно нулю, поэтому (C)′ = 0. Для степенной функции f(x) = xⁿ вычисление предела приводит к формуле (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹. Она позволяет заменить дифференцирование степени умножением на показатель и уменьшением показателя на единицу.

Правила суммы, разности, произведения и частного нужны, чтобы разбирать сложное выражение на части. Если функция состоит из нескольких слагаемых, находят производную каждого и складывают результаты; постоянный множитель можно оставить перед производной. Для произведения и частного применяют отдельные формулы, потому что изменение всего выражения зависит сразу от изменения обоих его компонентов. Так действие за действием удаётся вычислить производную выражения, собранного из простых функций.

Таблица производных содержит результаты для часто встречающихся элементарных функций: степенных, тригонометрических, показательной и логарифмической. Например, производная sin x равна cos x, а производная ln x равна 1/x при x > 0. У тригонометрических формул аргумент измеряется в радианах. Формулу выбирают только после проверки, что исходная функция определена при рассматриваемых значениях x.

В выражении из нескольких действий сначала распознают его части: например, сумму, внутри которой есть произведение. Затем применяют правило для внешнего действия и подставляют производные частей, найденные по таблице или другим правилам. При вычислениях важно сохранять скобки и порядок действий, а в конце упростить результат. Отдельно проверяют область определения: преобразования не должны скрыть точки, где исходное выражение не существовало.

Основные формулы вычисления производных

Сначала определите, является ли выражение одной табличной функцией или сочетанием нескольких действий. Для сочетания применяйте соответствующее правило, а затем находите производные отдельных частей по таблице. Условия в правом столбце помогают проверить, при каких значениях формула применима.

Разбор задач

Найти производную функции y = 5x⁴ − 3x + 7. Здесь выражение состоит из степени, линейного слагаемого и постоянной, соединённых вычитанием и сложением. Поэтому удобно дифференцировать каждое слагаемое отдельно, сохраняя коэффициенты.

1. По правилу суммы и разности записываем y′ = (5x⁴)′ − (3x)′ + (7)′.
2. Постоянные множители выносим: (5x⁴)′ = 5 · 4x³ = 20x³, а (3x)′ = 3 · 1 = 3.
3. Производная постоянного числа 7 равна нулю. Значит, y′ = 20x³ − 3 + 0 = 20x³ − 3.

Ответ: y′ = 20x³ − 3. Такой результат можно проверить по отдельным правилам: степень уменьшилась на единицу, коэффициент 5 умножился на показатель 4, а постоянное слагаемое исчезло.

Найти производную функции y = (x² + 1)sin x. Функция записана как произведение двух множителей: f(x) = x² + 1 и g(x) = sin x. Поэтому нельзя просто перемножить производные множителей; нужно применить правило произведения.

1. Находим производные частей: f′(x) = 2x, g′(x) = cos x.
2. Подставляем их в формулу (fg)′ = f′g + fg′: y′ = 2x · sin x + (x² + 1) · cos x.
3. Проверяем, что каждый член соответствует одному из двух слагаемых формулы: производная первого множителя умножена на второй, а первый умножен на производную второго.

Ответ: y′ = 2x sin x + (x² + 1)cos x. Скобки вокруг x² + 1 помогают увидеть, что весь первый множитель умножается на cos x.

Найти производную y = (x² + 1)/(x − 2) и указать, при каких x она определена. Это частное, поэтому в формуле нужно соблюдать порядок вычитания и возвести знаменатель в квадрат. Сначала отметим, что исходная функция не определена при x = 2.

1. Обозначим f(x) = x² + 1, g(x) = x − 2. Тогда f′(x) = 2x, g′(x) = 1.
2. Применяем правило частного: y′ = [2x(x − 2) − (x² + 1) · 1]/(x − 2)².
3. Упрощаем числитель: 2x² − 4x − x² − 1 = x² − 4x − 1. Получаем y′ = (x² − 4x − 1)/(x − 2)².

Ответ: y′ = (x² − 4x − 1)/(x − 2)² при x ≠ 2. Исключённое значение берётся из области определения исходной дроби, а квадрат знаменателя появляется по формуле производной частного.

Типичные ошибки

Иногда производную произведения ошибочно записывают как произведение производных: (fg)′ = f′g′. Так делают, перенося на производные обычное правило умножения чисел, но здесь оно не подходит. Правильная формула содержит сумму двух перекрёстных произведений: f′g + fg′. Проверьте, что в записи присутствуют оба слагаемых.

В формуле производной частного можно перепутать порядок слагаемых в числителе или забыть квадрат знаменателя. Ошибка возникает из-за того, что формула длиннее правил для суммы и произведения. Запоминайте её как f′g − fg′ над g² и подставляйте обозначения множителей по порядку. Перед ответом сверьте знак между произведениями и степень знаменателя.

Ещё одна ошибка — считать производную суммы произведением производных. Вероятно, ученик переносит на это действие правило для произведения или пытается применить одну формулу ко всем операциям. Для суммы верно (f + g)′ = f′ + g′, а производная разности — разность производных. Проверяйте знак исходной операции и сохраняйте его при дифференцировании.

Формулу (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ иногда применяют, не проверив допустимость степенной функции или всего выражения. Это особенно опасно, если степень не целая или функция входит в дробь, корень либо логарифм. Сначала выясните, при каких x исходная функция определена, и только затем вычисляйте производную. В конце убедитесь, что найденные значения не включают запрещённые точки исходного выражения.

Связь с другими темами

Для понимания производной нужны навыки вычисления пределов и упрощения алгебраических выражений: предел лежит в основе определения, а преобразования помогают применять формулы. Также важно знать степенные, тригонометрические, показательные и логарифмические функции, чтобы находить их производные по таблице. Позже производные используют при исследовании функций: определяют промежутки возрастания и убывания, находят экстремумы и записывают уравнение касательной к графику. Поэтому вычисление производных связывает алгебраические преобразования с анализом поведения функции.

Что запомнить

• Производная постоянной равна нулю.
• Производная суммы равна сумме производных.
• При дифференцировании произведения нельзя перемножать производные множителей.
• В формуле производной частного знаменатель возводят в квадрат.
• Табличные формулы применяют только с учётом области определения.
• Сложное выражение дифференцируют, последовательно сочетая табличные формулы и правила.