"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Сложная функция получается, когда одна функция подставлена в другую: например, сначала вычисляется выражение внутри скобок, а затем к результату применяется внешняя функция. Чтобы найти её производную, используют правило цепочки: производную внешней функции умножают на производную внутренней. Для обратной функции действует отдельная формула: её производная связана с производной исходной функции в соответствующей точке. Эти правила помогают дифференцировать вложенные выражения и работать с обратными зависимостями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложная функция — это функция вида y = f(g(x)), полученная подстановкой одной функции в другую. Функция g(x) называется внутренней: она задаёт выражение, которое вычисляют первым. Функция f — внешняя, она действует на результат g(x). Такое разделение показывает порядок действий и помогает понять, где применять правило цепочки.
Дифференцирование сложной функции — нахождение производной по правилу: производную внешней функции от внутренней умножают на производную внутренней. Для y = f(g(x)) это записывают так: y′ = f′(g(x)) · g′(x). Правило нужно, когда аргумент функции сам является выражением, а не просто x. Оно позволяет находить производные степенных, тригонометрических и других функций с составным аргументом.
Обратная функция возвращает исходный аргумент по значению функции. Если y = f(x), то обратная зависимость записывается как x = f⁻¹(y), или как y = f⁻¹(x), если переменную результата обозначают через x. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. Это определение помогает восстанавливать аргумент и связывать производные двух функций.
Производная обратной функции — производная f⁻¹ в точке, выраженная через производную исходной функции в соответствующей точке. Если y = f(x), то (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(x), когда f′(x) ≠ 0. В записи через аргумент обратной функции формула выглядит так: (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(f⁻¹(y)). Она полезна, когда производную обратной функции проще найти через исходную.
Сложную функцию удобно представить как последовательность действий: сначала находят u = g(x), затем вычисляют y = f(u). Например, в выражении sin(x² + 1) сначала возводят x в квадрат и прибавляют единицу, после чего находят синус. Если заменить внутреннее выражение буквой u, станет видно, что синус берётся не от x, а от u. Такая запись помогает не перепутать порядок дифференцирования.
Правило цепочки можно понять через приращения — небольшие изменения величин. Когда x меняется, сначала меняется u = g(x), а вслед за ним меняется y = f(u). Изменение y относительно x поэтому зависит и от того, как y меняется при изменении u, и от того, как u меняется при изменении x. В пределе это даёт y′ = f′(g(x)) · g′(x): производные двух этапов перемножаются.
Для степенной функции от выражения в скобках сначала находят производную степени, оставляя внутреннее выражение на месте, затем умножают на производную этого выражения. Например, для (3x − 2)⁵ внешняя часть — пятая степень, внутренняя — 3x − 2. Аналогично, производная sin(g(x)) равна cos(g(x)) · g′(x), а производная eᵍ⁽ˣ⁾ равна eᵍ⁽ˣ⁾ · g′(x). Во всех случаях последний множитель появляется из-за изменения внутреннего аргумента.
Формулу обратной функции выводят из равенства f(f⁻¹(y)) = y: если применить f к результату обратной функции, получится исходное значение y. Дифференцируя обе части по y и используя правило цепочки, получают f′(f⁻¹(y)) · (f⁻¹)′(y) = 1. Отсюда (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(f⁻¹(y)). В соответствующей точке x, где y = f(x), то же правило записывают как (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(x).
Применять формулу обратной функции можно не всегда. На рассматриваемом промежутке исходная функция должна быть обратимой: одному значению функции должен соответствовать только один аргумент. Кроме того, производная f′ в нужной точке не должна равняться нулю, иначе делить на неё нельзя. Проверка этих условий показывает, существует ли обратная функция в нужной области и применима ли формула для её производной.
| Ситуация | Запись функции | Формула производной | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Сложная функция | y = f(g(x)) | y′ = f′(g(x)) · g′(x) | Внешняя и внутренняя функции определены и дифференцируемы |
| Обратная функция | y = f⁻¹(x) | (f⁻¹)′(x) = 1 / f′(f⁻¹(x)) | Обратная функция существует, f′(f⁻¹(x)) ≠ 0 |
Сначала определи, к какой ситуации относится задача, а затем выбери соответствующую строку. Для сложной функции найди обе части композиции; для обратной — проверь обратимость и ненулевую производную исходной функции. В записи производной обратной функции особенно важно подставлять в f′ значение f⁻¹(x).
Выражение возводится в пятую степень, но основание степени зависит от x. Поэтому считаем (3x − 2) внутренней функцией, а возведение в пятую степень — внешней. Производная внешней части равна пяти, умноженным на основание в четвёртой степени; после этого нужно учесть скорость изменения основания.
Ответ: y′ = 15(3x − 2)⁴.
Здесь синус зависит не непосредственно от x, а от выражения x² + 1. Внешняя функция — синус, внутренняя — квадрат аргумента плюс единица. Производная синуса равна косинусу того же аргумента, поэтому сначала сохраняем x² + 1, а затем умножаем на производную внутреннего выражения.
Ответ: y′ = 2x cos(x² + 1).
Точка исходной функции с x = 1 переходит в значение y = f(1), а обратная функция возвращает из этого значения число 1. Поэтому требуется производная f⁻¹ в точке y = f(1), а не в точке 1. Используем формулу обратной производной и проверим, что знаменатель не равен нулю.
Ответ: (f⁻¹)′(2) = ¼.
При дифференцировании f(g(x)) иногда находят только f′(g(x)) и забывают умножить на g′(x). Обычно это происходит, когда внутреннее выражение воспринимают как простую часть записи, а не как функцию от x. Проверь себя: продифференцируй отдельно то, что стоит внутри скобок, и убедись, что эта производная есть множителем в ответе.
Другая ошибка — подставить внутреннее выражение не в производную внешней функции или вовсе оставить аргумент равным x. Например, для sin(x² + 1) после дифференцирования должна появиться cos(x² + 1), а не cos x. Чтобы проверить подстановку, сначала обозначь внутреннюю часть буквой u, найди производную внешней функции по u и только потом верни исходное выражение.
В формуле производной обратной функции могут ошибочно написать f′(x) вместо f′(f⁻¹(x)). Так смешивают аргумент обратной функции и соответствующую точку исходной функции. Самопроверка: найди, к какому исходному аргументу относится значение x обратной функции, и вычисли f′ именно в этом аргументе.
Формулу для обратной функции применяют, не проверяя её существование и ненулевую производную. Тогда обратная зависимость может не быть функцией на всём промежутке или в формуле возникнет деление на ноль. Перед вычислением проверь, что исходная функция обратима на нужном промежутке, и подставь соответствующую точку в f′.
Для работы с правилом цепочки нужна таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Также важно уметь находить область определения, распознавать композицию функций и вычислять значение функции в точке. Эти навыки помогают правильно выбрать внутреннюю и внешнюю части и проверить допустимость вычислений. Правила применяются при исследовании функций, дифференцировании сложных выражений и анализе обратных тригонометрических функций.
Как определить, какая функция внутренняя, а какая внешняя?
Посмотри, какие действия выполняются с x по порядку. Выражение, которое вычисляется первым, — внутренняя функция g(x), а действие, применяемое к полученному результату, — внешняя функция f. Например, в sin(x² + 1) внутренняя функция равна x² + 1, внешняя — синус.
Почему при дифференцировании сложной функции нужно умножать на производную внутренней?
Изменение x сначала вызывает изменение внутреннего значения u, а уже оно меняет y. Поэтому скорость изменения y относительно x складывается из двух скоростей: изменения внешней функции по u и изменения u по x. Отсюда формула y′ = f′(g(x)) · g′(x).
Как применить правило цепочки, если вложено несколько функций?
Дифференцируй функции последовательно, начиная с самой внешней, и умножай на производную каждого следующего внутреннего выражения. Например, для h(g(f(x))) производная равна h′(g(f(x))) · g′(f(x)) · f′(x). Не пропускай ни один множитель.
Чем отличаются f⁻¹(x) и 1 / f(x)?
f⁻¹(x) обозначает обратную функцию: она восстанавливает исходный аргумент по значению функции. А 1 / f(x) — это число, обратное значению f(x). Например, если f(x) = 2x, то f⁻¹(x) = x/2, а 1/f(x) = 1/(2x).
Какие условия нужны, чтобы найти производную обратной функции?
Исходная функция должна иметь обратную на рассматриваемом промежутке, то есть каждому её значению должен соответствовать единственный аргумент. Кроме того, производная исходной функции в соответствующей точке должна быть отлична от нуля. Тогда можно применить формулу (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(f⁻¹(y)).
§ 42. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции
