§ 30. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

Определения и обозначения

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; убывает, если большему аргументу соответствует меньшее значение. Сравнивают именно значения x и f(x) внутри выбранного промежутка. Такое описание поведения функции называют монотонностью. Оно помогает понять направление изменения графика без построения всех его точек.

Критическая точка — внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует. Важно, что сама функция в этой точке должна быть определена, а точка не должна быть концом рассматриваемого промежутка. Критические точки используют как границы промежутков для проверки знака производной. Однако не каждая из них окажется точкой экстремума.

Точка экстремума — значение аргумента, при котором функция имеет локальный максимум или локальный минимум: вблизи этого аргумента значения функции не больше или не меньше значения в самой точке. Это именно аргумент, обычно обозначаемый x₀, а не высота графика. Например, если максимум достигается при x = 2, точка максимума — 2. Такое различие нужно, чтобы не спутать положение экстремума со значением функции.

Экстремум функции — значение функции в точке максимума или минимума. Если при x = x₀ функция достигает локального максимума, экстремум равен f(x₀); для минимума это также значение f(x₀), но оно меньше соседних значений. Таким образом, x₀ указывает, где находится экстремум, а f(x₀) — чему он равен. В задачах часто требуется найти и точку, и соответствующее значение.

Как это устроено

Связь производной с монотонностью объясняет теорема о среднем значении: скорость изменения функции на промежутке согласуется со знаком производной. Если f′(x) положительна во всех внутренних точках промежутка, при движении вправо функция увеличивается; если отрицательна — уменьшается. Поэтому знак производной позволяет сделать вывод сразу для целого промежутка, а не только для отдельных точек. Если производная равна нулю в одной точке, это само по себе не означает, что на всём промежутке функция постоянна.

Чтобы найти промежутки монотонности, сначала определяют область определения: за её пределами функция не существует, поэтому исследовать её там нельзя. Затем вычисляют производную и находят точки, где она равна нулю или не существует, оставляя только точки области определения. Эти точки делят область на интервалы, внутри каждого из которых производная обычно не обращается в ноль и не меняет знак. На каждом интервале выбирают удобное значение x и проверяют знак f′(x); полученный знак показывает, возрастает функция или убывает.

Экстремум возникает, когда направление изменения функции меняется. Если f′ переходит с положительных значений на отрицательные, функция до критической точки возрастает, а после неё убывает, поэтому в точке получается локальный максимум. При переходе с минуса на плюс функция сначала убывает, а затем возрастает — это локальный минимум. Причина в том, что функция перестаёт двигаться в одном направлении и начинает двигаться в противоположном.

Критическая точка не обязательно является точкой экстремума: решающим остаётся изменение знака производной. Если по обе стороны точки знак остаётся положительным, функция продолжает возрастать; если отрицательным — продолжает убывать. Например, у f(x) = x³ производная f′(x) = 3x² равна нулю при x = 0, но положительна по обе стороны от нуля. Значит, в нуле нет ни максимума, ни минимума.

Производная может не существовать даже там, где сама функция определена, например в точке излома графика. Такую точку нельзя пропускать: она может разделить область определения на интервалы, на которых знак производной различен. Проверяют знак отдельно слева и справа, не подставляя в производную саму точку, где её нет. Если знак меняется, функция может иметь там экстремум; если не меняется, экстремума нет.

Знак производной и поведение функции

Сначала выясните знак производной на каждом промежутке, а затем сравните знаки по разные стороны критической точки. Переход + → − означает максимум, переход − → + — минимум. Если знак не изменился, критическая точка не является точкой экстремума.

Разбор задач

Задача 1. Исследовать на промежутки возрастания и убывания функцию f(x) = x³ − 3x. Область определения — все действительные числа. Здесь нужно установить знаки производной, а не сравнивать значения функции в нескольких случайных точках. Нули производной разделят числовую прямую на интервалы для проверки.

1. Найдём производную: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Производная равна нулю при x = −1 и x = 1.
2. Точки −1 и 1 делят область определения на интервалы (−∞; −1), (−1; 1) и (1; +∞). Проверим знаки производной: при x = −2 получаем положительный знак, при x = 0 — отрицательный, при x = 2 — положительный.
3. Значит, функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), а убывает на (−1; 1). При x = −1 знак меняется с + на −, а при x = 1 — с − на +.

Ответ: возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1); при x = −1 — локальный максимум, при x = 1 — локальный минимум.

Задача 2. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x) = x⁴ − 4x². Производная здесь раскладывается на множители, поэтому легко определить все критические точки. Проверять надо знаки на каждом промежутке, образованном этими точками: одинаковый знак в соседних интервалах означал бы отсутствие экстремума.

1. Область определения — ℝ. Находим производную: f′(x) = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2) = 4x(x − √2)(x + √2).
2. Критические точки: x = −√2, 0, √2. Проверяем знаки множителей на интервалах: производная отрицательна на (−∞; −√2), положительна на (−√2; 0), отрицательна на (0; √2) и положительна на (√2; +∞).
3. Значит, при x = −√2 и x = √2 производная меняется с минуса на плюс, а при x = 0 — с плюса на минус. Для значений функции: f(−√2) = f(√2) = −4, f(0) = 0.

Ответ: функция убывает на (−∞; −√2) и (0; √2), возрастает на (−√2; 0) и (√2; +∞). Точки минимума: x = ±√2, экстремум равен −4; точка максимума: x = 0, экстремум равен 0.

Задача 3. Исследовать f(x) = x + 1/x на области определения, найти промежутки монотонности и экстремумы. Сначала исключаем x = 0: делить на ноль нельзя, поэтому эта точка не принадлежит области определения. Важно не считать её точкой функции, хотя она разделяет область на две части.

1. Область определения: (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Производная равна f′(x) = 1 − 1/x² = (x − 1)(x + 1)/x².
2. Производная равна нулю при x = −1 и x = 1, а x = 0 исключён из области определения. Проверяем знаки на интервалах: f′ положительна на (−∞; −1) и (1; +∞), отрицательна на (−1; 0) и (0; 1).
3. При x = −1 знак меняется с + на −, поэтому это точка максимума; f(−1) = −2. При x = 1 знак меняется с − на +, поэтому это точка минимума; f(1) = 2.

Ответ: функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 0) и (0; 1). Локальный максимум равен −2 при x = −1, локальный минимум равен 2 при x = 1.

Типичные ошибки

Считать каждую критическую точку экстремумом. Ошибка возникает потому, что равенство f′(x) = 0 кажется достаточным признаком максимума или минимума. Но в точке x = 0 у функции x³ производная равна нулю, а функция продолжает возрастать. Проверяйте знак производной с обеих сторон: экстремум есть только при смене знака.

Проверять знак производной только в критических точках. В самой критической точке производная часто равна нулю, поэтому её знак там не показывает поведения на соседних участках. Для вывода о монотонности исследуют каждый интервал между критическими точками. Самопроверка проста: убедитесь, что область разбита всеми найденными точками и для каждого промежутка установлен знак.

Не учитывать точку, где производная не существует. Иногда такая точка принадлежит области определения функции, но её пропускают, поскольку производную нельзя подставить в неё. Между тем она может разделять область определения или быть точкой экстремума. Проверьте отдельно область определения и все её точки, где производная не существует, а затем сравните знаки по сторонам.

Путать точку экстремума и экстремум. Причина — оба понятия связаны с одним и тем же максимумом или минимумом. Точка экстремума — аргумент x₀, а экстремум функции — значение f(x₀). Чтобы проверить ответ, запишите их отдельно: например, при x₀ = 2 экстремум может быть равен f(2) = 5.

Связь с другими темами

Для исследования монотонности и экстремумов нужно уметь находить производные элементарных функций и применять правила дифференцирования. Также потребуются область определения, понимание промежутков и знака выражения, а ещё навык решения неравенств. Знаки множителей производной помогают составить таблицу и увидеть поведение функции на каждом интервале. Эти результаты используют при построении графиков и решении задач на наибольшее и наименьшее значения.

Что запомнить

• Если f′(x) > 0 на промежутке, функция на нём возрастает.
• Если f′(x) < 0 на промежутке, функция на нём убывает.
• Критические точки делят область определения на промежутки для проверки знака производной.
• Смена знака производной с плюса на минус означает максимум.
• Смена знака производной с минуса на плюс означает минимум.
• Критическая точка без смены знака производной не является точкой экстремума.