5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на множестве

Определения и обозначения

Наибольшее значение функции на множестве — число f(x₀), не меньшее всех остальных значений функции при x из рассматриваемого множества. Иначе говоря, ни в одной допустимой точке функция не принимает большего значения. Это понятие помогает найти верхнюю границу значений, которая действительно достигается.

Наименьшее значение функции на множестве — число f(x₀), не большее всех остальных значений функции при x из рассматриваемого множества. Значит, среди допустимых значений функции нет меньшего. Так можно определить нижнюю границу, которую функция достигает.

Точка, в которой функция достигает наибольшего или наименьшего значения, — значение аргумента x₀, при котором получается это значение. Сам результат равен f(x₀), поэтому x₀ и f(x₀) — разные числа и разные роли. Такое различие нужно, чтобы верно записать ответ: отдельно назвать точку достижения и значение.

Множество, на котором исследуется функция, — совокупность допустимых значений аргумента, относительно которой сравнивают значения функции. Его могут задать формулой, промежутком или перечислением отдельных чисел. Указание множества необходимо, потому что при его изменении могут измениться и наибольшее, и наименьшее значения.

Как это устроено

Любое значение f(x), полученное при допустимом x, — лишь одно из значений функции. Чтобы оно оказалось наибольшим, оно должно быть не меньше каждого другого значения на выбранном множестве; для наименьшего требуется обратное сравнение. Поэтому одного вычисления в одной точке недостаточно: результат нужно сопоставить со всеми остальными значениями или найти способ определить, какие из них могут быть крайними.

Определения удобно записывать через неравенства. Число f(x₀) является наибольшим на множестве A, если f(x) ≤ f(x₀) для всех x ∈ A; наименьшим — если f(x₀) ≤ f(x) для всех x ∈ A. Слова «для всех» существенны: они требуют сравнить значение не с несколькими выбранными точками, а со всем множеством. При этом x₀ обязательно должно принадлежать A, иначе функция достигает значения вне рассматриваемых условий.

Наибольшее и наименьшее значения зависят от множества, потому что сравнение проводится только между значениями, полученными при допустимых аргументах. Например, у функции y = x² на отрезке [−1; 1] наибольшее значение равно 1, а на всей числовой прямой наибольшего значения нет. На отрезке аргументы ограничены, а на прямой квадраты могут расти без границ. Значит, нельзя говорить о максимуме, не уточняя, где именно он ищется.

Крайнее значение может не существовать, если функция не ограничена на множестве или приближается к границе, но не достигает её. Например, при x ∈ (0; 1) функция f(x) = x принимает значения сколь угодно близкие к нулю, однако нуля среди них нет; поэтому минимума нет. Для непрерывной функции на замкнутом отрезке ситуация иная: теорема гарантирует существование обоих крайних значений. Это объясняет, почему важно проверить и функцию, и множество.

Чтобы найти крайние значения непрерывной функции на отрезке, рассматривают концы и внутренние критические точки — точки, где производная равна нулю или не существует. Причина такого выбора в том, что внутри отрезка функция может изменить направление роста или убывания только в особых точках, а на границе отрезка поворот не требуется. Сначала оставляют лишь критические точки, принадлежащие отрезку, затем вычисляют значения функции во всех кандидатах. Самое большое из чисел будет максимумом, самое маленькое — минимумом.

Наибольшее и наименьшее значение функции на множестве

Сначала выбери строку с нужной характеристикой, чтобы не перепутать значение функции и аргумент. Затем используй условие существования и места поиска как план решения задачи на отрезке. Последняя проверка всегда одна: сравнить все полученные значения между собой.

Разбор задач

Функция на конечном множестве

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x − 1 на множестве A = {−2; 0; 3; 5}. Здесь множество состоит всего из четырёх точек, поэтому достаточно вычислить функцию в каждой из них. Производная и исследование промежутков не нужны: сравниваем только четыре результата.

1. Подставим x = −2: f(−2) = 2 · (−2) − 1 = −5.
2. Подставим x = 0: f(0) = 2 · 0 − 1 = −1.
3. Для двух оставшихся точек получаем f(3) = 5 и f(5) = 9.
4. Сравним −5, −1, 5 и 9: наименьшее число −5, наибольшее — 9.

Ответ: наибольшее значение равно 9 и достигается при x = 5; наименьшее равно −5 и достигается при x = −2. Так как множество конечное, одно из вычисленных значений обязательно будет самым большим, а одно — самым маленьким. В ответе указаны и результаты, и точки их достижения.

Квадратичная функция на отрезке

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [−1; 4]. Парабола направлена вверх, её вершина может дать минимум, но максимум на отрезке может оказаться на одном из концов. Поэтому проверим вершину и оба конца, а затем сравним значения.

1. Выделим квадрат: f(x) = (x − 2)² − 3. Вершина находится при x = 2, и эта точка принадлежит отрезку.
2. Вычислим значение в вершине: f(2) = −3.
3. Проверим концы: f(−1) = 6, f(4) = 1.
4. Сравним −3, 6 и 1: минимум равен −3, максимум равен 6.

Ответ: наименьшее значение −3 достигается при x = 2; наибольшее значение 6 — при x = −1. Вершина действительно оказалась минимумом, но крайнее значение с другой стороны графика достигается на границе отрезка. Если бы мы проверили только вершину, максимум нашли бы неверно.

Поиск с помощью производной

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 на отрезке [−2; 4]. Функция непрерывна, поэтому оба значения существуют, и достаточно проверить концы и внутренние критические точки. Производная позволяет найти точки, где график может сменить направление роста.

1. Найдём производную: f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1).
2. Приравняем её к нулю: x = 3 или x = −1. Обе точки принадлежат отрезку.
3. Вычислим значения во всех кандидатах: f(−2) = 0, f(−1) = 7, f(3) = −25, f(4) = −18.
4. Сравним результаты: наибольшее число — 7, наименьшее — −25.

Ответ: максимум равен 7 при x = −1; минимум равен −25 при x = 3. Концы тоже вошли в список кандидатов, хотя в этой задаче ни один из них не дал крайнего значения. Их проверка необходима, поскольку заранее нельзя знать, где окажется самый высокий или самый низкий участок графика.

Типичные ошибки

Первая ошибка — проверять только внутренние критические точки и забывать концы отрезка. Так делают, потому что производная помогает находить экстремумы внутри промежутка, но крайнее значение может достигаться на границе. Чтобы проверить решение, убедись, что в список кандидатов вошли оба конца отрезка и все критические точки внутри него.

Вторая ошибка — назвать точку достижения значением функции. Аргумент x₀ показывает, где достигается результат, а f(x₀) — чему этот результат равен. Путаница возникает, когда оба числа записывают рядом без пояснений. Проверь ответ подстановкой: значение должно быть получено вычислением f(x₀), а не просто совпадать с x₀.

Третья ошибка — принять локальный максимум или минимум за наибольшее или наименьшее значение на всём множестве. Локальный максимум выше значений лишь вблизи точки, но в другой части множества функция может быть ещё выше. После нахождения локальных экстремумов обязательно сравни их значения с результатами на остальных критических точках и границах.

Четвёртая ошибка — утверждать, что крайнее значение существует, не проверив условия. Например, на открытом промежутке функция может не достигать границы, к которой приближаются её значения. Перед поиском проверь заданное множество и условия теоремы: непрерывность на замкнутом отрезке гарантирует существование максимума и минимума, но вне этих условий вывод не автоматический.

Связь с другими темами

Для начала нужно уметь находить область определения и понимать, какие значения аргумента допустимы, а также сравнивать числа с помощью неравенств. График помогает увидеть возможное положение крайних точек, а вычисление f(x) в заданных точках даёт точные значения. Если применяется производная, понадобятся правила её вычисления и умение находить критические точки.

Исследование промежутков монотонности помогает понять, где функция возрастает и убывает и почему в критической точке может возникнуть экстремум. Поиск наибольших и наименьших значений используется в задачах на оптимизацию: например, чтобы подобрать наибольшую площадь или наименьшие затраты. Эти результаты также помогают точнее исследовать функцию и строить её график.

Что запомнить

• Наибольшее значение не меньше любого другого значения функции на данном множестве.
• Наименьшее значение не больше любого другого значения функции на данном множестве.
• Всегда указывай множество, на котором ищешь крайние значения.
• Точка достижения и значение функции — разные объекты: x₀ и f(x₀).
• На отрезке для непрерывной функции проверь концы и критические точки.
• Сравни между собой все найденные значения.
• Наибольшее или наименьшее значение может не существовать.