5.5*. Вторая производная и её применение

Определения и обозначения

Вторая производная функции f — это производная от её первой производной: f''(x) = (f'(x))'. Иными словами, сначала изучают скорость изменения функции, а затем — как меняется эта скорость. Используют также обозначение d²y/dx², если функция записана в виде y = f(x).

Выпуклость функции описывает направление изгиба её графика. При f''(x)>0 график изгибается как чаша, направленная вверх, а при f''(x)<0 — как чаша, направленная вниз. Знак второй производной позволяет увидеть этот изгиб без построения большого числа точек.

Точка перегиба — точка графика, при переходе через которую меняется направление выпуклости. Обычно это происходит там, где вторая производная равна нулю или не существует, но одного такого условия недостаточно. Поэтому после нахождения кандидата проверяют знак f'' по обе стороны.

Ускорение — величина, показывающая, как изменяется скорость тела со временем. Если координата движущегося тела задана формулой x = x(t), то x'(t) — его скорость, а x''(t) — ускорение. Так вторая производная связывает исследование функций с задачами о движении.

Как это устроено

Чтобы найти вторую производную, сначала вычисляют f'(x), не изменяя исходную последовательность действий. Затем полученную функцию дифференцируют ещё раз по тем же правилам. Например, если f'(x) = 4x³ − 6x, то f''(x) = 12x² − 6: второй раз дифференцируют уже не исходную, а первую производную.

Знак f'' связан с выпуклостью потому, что f'' показывает изменение f'. Если f''>0, значения f' возрастают: наклон касательных постепенно увеличивается, и график поворачивает вверх. Если f''<0, наклоны уменьшаются, поэтому график поворачивает вниз.

Чтобы найти промежутки выпуклости, сначала определяют область, где существует f''(x). Затем находят точки, в которых f'' обращается в ноль или не существует, и отмечают их на числовой прямой. На каждом полученном промежутке проверяют знак второй производной и по нему делают вывод о направлении изгиба.

Равенство f''(x₀)=0 ещё не доказывает наличие точки перегиба, поскольку знак второй производной может остаться одинаковым слева и справа. Например, для функции y=x⁴ имеем y''=12x², и в нуле вторая производная равна нулю, но смены выпуклости нет. Поэтому необходимо сравнить знаки f'' на соседних промежутках.

Вторую производную можно использовать для исследования экстремума, если уже найдена критическая точка из условия f'(x₀)=0. При f''(x₀)>0 первая производная меняется от отрицательных значений к положительным, поэтому функция переходит от убывания к возрастанию и имеет минимум. При f''(x₀)<0 происходит обратная картина и получается максимум.

Если координата тела зависит от времени, то первая производная x'(t) описывает скорость, а вторая x''(t) — изменение скорости, то есть ускорение. Например, при x(t)=3t² скорость равна 6t, а ускорение постоянно и равно 6. Единицы измерения второй производной координаты — единицы длины, делённые на единицу времени в квадрате.

График y=x³ в точке x=0 меняет направление выпуклости: слева он изгибается вниз, а справа — вверх. Это согласуется с формулой y''=6x, поскольку вторая производная отрицательна при x<0 и положительна при x>0.

Знак второй производной и характер графика

Таблица помогает быстро сопоставить условие со свойством графика или характером критической точки. Для промежутка достаточно определить знак f'' в любой точке, если внутри нет нулей и точек, где производная не существует. Для точки перегиба обязательно сравнивают знаки по обе стороны, а для экстремума сначала проверяют условие f'(x₀)=0.

Разбор задач

1. Вторая производная многочлена

Условие: найдите вторую производную функции f(x)=x⁴−3x²+2. Нужно дважды применить правило дифференцирования степенной функции, каждый раз упрощая результат.

1. Находим первую производную: f'(x)=4x³−6x, так как производная константы равна нулю.
2. Ещё раз дифференцируем: f''(x)=12x²−6.
3. Проверяем порядок действий: результат получен из f'(x), а не прямым повторным обращением к исходной записи.

Ответ: f''(x)=12x²−6.

2. Выпуклость и точка перегиба

Условие: найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=x³−3x. Сначала нужно получить вторую производную, затем определить, где она положительна и отрицательна.

1. Получаем f'(x)=3x²−3 и f''(x)=6x.
2. Решаем f''(x)=0: 6x=0, поэтому x=0 делит область определения на два промежутка.
3. При x<0 имеем f''(x)<0, значит график выпукл вверх; при x>0 f''(x)>0, значит график выпукл вниз.
4. Знак изменился, поэтому x=0 — абсцисса точки перегиба. Её ордината f(0)=0.

Ответ: график выпукл вверх на (−∞;0), выпукл вниз на (0;+∞); точка перегиба — (0;0).

3. Экстремум по второй производной

Условие: исследуйте критические точки функции f(x)=x⁴−4x² на экстремум с помощью второй производной. Если вторая производная в критической точке окажется нулевой, одного этого признака будет недостаточно.

1. Находим f'(x)=4x³−8x=4x(x²−2), поэтому критические точки: x=0, x=−√2 и x=√2.
2. Вычисляем f''(x)=12x²−8. В точке 0 получаем f''(0)=−8<0, значит там локальный максимум.
3. В точках ±√2 имеем f''(±√2)=16>0, значит обе точки дают локальные минимумы.
4. Значение функции: f(0)=0, а f(±√2)=4−8=−4.

Ответ: локальный максимум — (0;0), локальные минимумы — (−√2;−4) и (√2;−4). В этой задаче случая f''(x₀)=0 нет; при его появлении нужно было бы дополнительно исследовать знак f'.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что f''(x₀)=0 автоматически означает точку перегиба. Так происходит, потому что ноль второй производной часто используют для поиска кандидатов. Проверьте знаки f'' слева и справа: без их смены перегиба нет.

Ошибка: путать знак f'' с возрастанием или убыванием функции. Вторая производная описывает изменение первой производной, а не поведение самой функции. Для монотонности исследуйте знак f', а для выпуклости — знак f''.

Ошибка: применять признак экстремума по второй производной без проверки f'(x₀)=0. Положительное или отрицательное значение f'' само по себе не превращает любую точку в минимум или максимум. Сначала найдите критические точки, затем вычисляйте вторую производную в них.

Ошибка: делать определённый вывод, когда f''(x₀)=0. В этом случае признак второй производной не срабатывает, хотя экстремум может существовать или отсутствовать. Исследуйте знак f' по сторонам либо примените другой подход.

Связь с другими темами

До изучения второй производной нужно уметь находить производную и исследовать знак функции на промежутках. Первая производная используется для определения монотонности и экстремумов, а вторая уточняет характер экстремума и показывает изгиб графика. В задачах на движение координата, скорость и ускорение образуют цепочку: x(t), x'(t), x''(t).

Что запомнить

• Вторая производная — это производная от первой производной.
• Знак f'' на промежутке определяет направление выпуклости графика.
• Точка перегиба требует смены знака второй производной.
• Равенство f''(x₀)=0 само по себе не доказывает наличие точки перегиба.
• Для применения признака экстремума по второй производной сначала необходимо f'(x₀)=0.
• При f'(x₀)=0 и f''(x₀)>0 имеется локальный минимум.
• При f'(x₀)=0 и f''(x₀)<0 имеется локальный максимум.