"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Обратная функция восстанавливает исходный аргумент по значению функции, а сложная функция последовательно применяет две функции. Эти понятия помогают понимать, как связаны формулы и графики, и составлять новые функции из уже известных. Чтобы найти обратную, меняют местами аргумент и значение; чтобы задать сложную, сначала вычисляют внутреннюю функцию. При этом нужно следить за областями определения: не всякая функция обратима, и не каждую композицию можно вычислить при любом x.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Взаимно обратные функции — функции, которые при последовательном применении возвращают исходный аргумент: f(g(x)) = x и g(f(x)) = x на соответствующих областях. Иначе говоря, одна функция отменяет действие другой. Это понятие помогает проверять, действительно ли две функции восстанавливают значения друг друга.
Обратная функция f⁻¹ каждому значению y исходной функции ставит в соответствие аргумент x, для которого f(x) = y. Запись f⁻¹(x) не означает дробь 1/f(x): верхний индекс −1 указывает на обратную функцию. Это различие нужно, чтобы не путать две разные операции.
Сложная функция имеет вид f(g(x)): сначала к x применяют g, а к полученному результату — f. Например, если g(x) = x + 1, а f(x) = x², то сложная функция равна (x + 1)². Такое построение позволяет описывать несколько действий одной формулой.
Композиция функций — операция последовательного выполнения функций с учётом их областей определения. В f(g(x)) функция g называется внутренней, а f — внешней. Проверка допустимых значений нужна, чтобы формула сложной функции была определена.
Обратную функцию можно задать, только если каждому значению функции соответствует один аргумент. Если одному и тому же результату отвечают два разных аргумента, восстановить исходный x однозначно нельзя. Поэтому перед поиском обратной функции проверяют, является ли исходная функция взаимно однозначной на выбранной области. Иногда для этого достаточно ограничить её область определения.
Формулу обратной функции находят из связи y = f(x). Сначала записывают эту связь, затем меняют местами x и y: теперь бывшее значение функции рассматривается как аргумент, а бывший аргумент — как значение. После этого выражают y через новый x. Полученная формула задаёт обратную функцию, если исходная функция действительно обратима на рассматриваемой области.
Области определения взаимно обратных функций меняются ролями, потому что значения одной функции становятся аргументами другой. Если исходная функция принимает значения из множества B, обратная может иметь аргументы из B. А её значения — это аргументы исходной функции. Поэтому при записи обратной функции важно указывать, на каких множествах рассматривается соответствие.
У функции y = x² на всей числовой прямой нет обратной: например, числу 9 соответствуют и 3, и −3. Ограничим область определения условием x ≥ 0 — тогда каждому неотрицательному y отвечает ровно один x. Из y = x² получаем x = √y, поэтому обратная функция имеет вид f⁻¹(x) = √x при x ≥ 0. Если выбрать вместо этого x ≤ 0, обратной будет функция −√x.
В композиции f(g(x)) сначала вычисляют g(x), поскольку именно её значение стоит внутри скобок, а затем подставляют результат в f. Для области определения нужны оба условия: внутренняя функция должна быть определена, и её результат должен быть допустимым аргументом внешней. Если какое-либо из этих условий нарушено, соответствующее x не входит в область композиции. Поэтому область сложной функции находят проверкой всей цепочки вычислений.
В таблице сопоставлены исходная функция, обратная к ней и их основные связи. Области и множества значений указаны с учётом выбранного ограничения, если оно необходимо. Пользуйтесь таблицей вместе с проверкой формул композиции: она показывает, действительно ли функции взаимно обратны.
| Характеристика | Исходная функция f | Обратная функция f⁻¹ | Связь функций |
|---|---|---|---|
| Область определения | Выбранная область аргументов функции f | Множество значений функции f | Область определения f становится множеством значений f⁻¹ |
| Множество значений | Множество значений функции f | Область определения функции f | Множество значений f становится областью определения f⁻¹ |
| Формула получения | Записывают y = f(x) | Меняют x и y местами и выражают y | Проверяют взаимную однозначность на выбранной области |
| Равенства композиции | f(f⁻¹(x)) = x | f⁻¹(f(x)) = x | Равенства выполняются на соответствующих областях |
| Расположение графиков | График y = f(x) | График y = f⁻¹(x) | Графики симметричны относительно прямой y = x |
| Условие существования обратной функции | Каждому значению соответствует единственный аргумент | Каждому аргументу соответствует единственное значение | Функция взаимно однозначна на выбранной области |
Условие. Найти функцию, обратную к f(x) = 3x − 5, и проверить результат композицией. Линейная функция с ненулевым коэффициентом при x принимает каждое значение только один раз. Значит, обратную функцию можно искать на всей числовой прямой.
Ответ: f⁻¹(x) = (x + 5)/3. Обе композиции возвращают x, поэтому результат верен.
Условие. Найти обратную функцию к f(x) = x² при x ≥ 0 и указать её область определения. Ограничение уже исключает отрицательные аргументы, поэтому каждому значению исходной функции соответствует один x. Множество значений исходной функции — числа, не меньшие нуля.
Ответ: f⁻¹(x) = √x, область определения — [0; +∞).
Условие. Для f(x) = ln x и g(x) = x² − 1 найти область определения и формулу f(g(x)). Поскольку внешняя функция — логарифм, его аргумент должен быть строго положительным. Значит, проверяем не только формулу g, но и допустимость её результата для ln.
Ответ: f(g(x)) = ln(x² − 1), область определения: (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
Запись f⁻¹(x) иногда принимают за 1/f(x), потому что обозначения похожи. Но обратная функция меняет местами аргумент и значение, а обратная величина делит единицу на число. Проверяйте смысл формулы: для обратной функции композиция с исходной должна давать x. Например, обратная к 3x − 5 равна (x + 5)/3, а не 1/(3x − 5).
Попытка найти обратную к y = x² на всей числовой прямой приводит к ответу ±√x. Это не функция: одному положительному аргументу соответствуют два значения. Ошибку допускают, забывая, что обратное соответствие должно быть однозначным. Проверьте, не дают ли x и −x один результат; если дают, ограничьте исходную область определения.
В композиции f(g(x)) и g(f(x)) порядок легко перепутать. Внутреннюю функцию выполняют первой, потому что её выражение находится в скобках; перестановка обычно меняет результат. Чтобы проверить себя, подставьте конкретное число и посчитайте обе композиции отдельно. Если они различаются, значит, порядок действий нельзя менять.
Для сложной функции иногда проверяют только область внутренней функции или только условие внешней. Но необходимо учесть оба шага: g(x) должна существовать, а её значение должно подходить для f. Например, в ln(x² − 1) одной определённости x² − 1 недостаточно — выражение внутри логарифма должно быть положительным. Составьте все ограничения и найдите их пересечение.
Для работы с обратными и сложными функциями нужны знания об области определения и множестве значений, способах задания функций и преобразовании уравнений. Умение читать графики помогает увидеть, может ли функция иметь обратную: одному значению не должны соответствовать разные аргументы. Графическое представление также показывает симметрию обратных функций относительно y = x. Позже эти идеи пригодятся при изучении показательных и логарифмических функций, обратных тригонометрических функций и преобразований выражений.
Почему у функции x^2 нет обратной функции на всей числовой прямой?
На всей числовой прямой разные аргументы x и −x дают одно и то же значение x². Поэтому значению, например 4, соответствуют сразу два аргумента: 2 и −2. Если ограничить область определения полуосью x ≥ 0 или x ≤ 0, обратная функция будет существовать.
Чем обратная функция отличается от обратной величины?
Обратная функция восстанавливает аргумент по значению исходной функции, а обратная величина числа a — это 1/a. Запись f⁻¹(x) обозначает обратную функцию, а не дробь 1/f(x). Например, к f(x) = 3x − 5 обратна функция (x + 5)/3.
Почему графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x?
Точка (a, b) на графике исходной функции означает, что f(a) = b. На графике обратной функции соответствуют значениям поменяны роли, поэтому там есть точка (b, a). Такие точки зеркально отражаются относительно прямой y = x.
Всегда ли f(g(x)) равно g(f(x))?
Нет: в композиции важен порядок действий, и функции обычно дают разные результаты при перестановке. Например, при f(x) = x + 1 и g(x) = 2x получаем f(g(x)) = 2x + 1, а g(f(x)) = 2x + 2. Кроме того, области определения двух композиций могут различаться.
Как правильно определить область определения сложной функции?
Сначала выясните, где определена внутренняя функция g(x), затем проверьте, при каких её значениях определена внешняя функция f. Область композиции состоит из всех x, для которых одновременно допустимы оба действия. Например, для ln(x² − 1) нужно потребовать x² − 1 > 0.
§ 2. Взаимно обратные функции. Сложная функция
