Функция у = ах2, ее график и свойства

Определения и обозначения

Функция вида y = ax² задаётся формулой, где x — независимая переменная, а a — постоянное ненулевое число. При каждом выбранном x формула указывает единственное значение y. Коэффициент a может быть положительным или отрицательным, поэтому эти случаи рассматривают отдельно. Его знак влияет на направление ветвей графика.

График функции y = ax² называют параболой. Это плавная кривая с двумя симметричными ветвями, которые расходятся от одной общей точки. Ветви могут быть направлены вверх или вниз, но график при любом a ≠ 0 остаётся параболой. Понимание её формы помогает строить график, не вычисляя бесконечно много точек.

Вершина параболы — точка, в которой сходятся её ветви и где функция достигает наименьшего либо наибольшего значения. Для функции y = ax² вершина находится в точке (0; 0). Если a положительно, в ней достигается минимум, а если отрицательно — максимум. Это позволяет сразу определить экстремум функции.

Ось симметрии параболы — прямая, относительно которой её левая и правая части зеркально совпадают. У графика y = ax² это прямая x = 0, то есть ось y. Поэтому значения функции для противоположных аргументов одинаковы. Ось симметрии помогает строить график по точкам только с одной стороны, а затем отражать их.

Как это устроено

Чтобы вычислить значение функции, выбранный x возводят в квадрат, а результат умножают на a. Например, при y = 2x² и x = 3 получаем y = 2 · 9 = 18. Если вместо 3 взять −3, квадрат снова будет равен 9, поэтому значение y останется 18. Так возникает симметрия графика: каждой точке с абсциссой x соответствует точка с абсциссой −x и той же высотой.

Направление ветвей зависит от знака множителя a, потому что квадрат любого числа неотрицателен. При a > 0 произведение ax² также неотрицательно, и точки графика лежат на оси y или выше неё. Поэтому ветви раскрываются вверх. При a < 0 произведение неположительно, точки находятся на оси y или ниже неё, а ветви раскрываются вниз.

Ширина параболы зависит от модуля коэффициента, то есть от величины |a| без учёта знака. При одном и том же ненулевом x увеличение |a| увеличивает расстояние значения y от нуля, поэтому график быстрее уходит вверх или вниз и становится уже. Если 0 < |a| < 1, произведение по модулю меньше x², и парабола получается шире графика y = x². Знак при этом отвечает за направление ветвей, а не за ширину.

Формула определена при любом действительном x: любое действительное число можно возвести в квадрат и умножить на a. Значит, область определения — все действительные числа. Подстановка x = 0 даёт y = 0, а при любом x ≠ 0 квадрат положителен и произведение на ненулевое a не равно нулю, поэтому единственный нуль функции — x = 0. Равенство значений при x и −x также подтверждает симметрию относительно оси y.

Поскольку вершина находится при x = 0, изменение функции удобно рассматривать по обе стороны от этой точки. При a > 0 значения от левой части графика к вершине уменьшаются, а после вершины увеличиваются: функция убывает до x = 0, затем возрастает. При a < 0 ветви направлены вниз, поэтому до вершины значения растут, а после неё падают. Вершина является соответственно точкой минимума или максимума.

Свойства функции y = ax² в зависимости от знака a

Чтобы заполнить таблицу для конкретной функции, сначала определите знак a, а затем выберите нужный столбец. Область определения, ось симметрии и нуль одинаковы в обоих случаях, а направление ветвей, значения и характер экстремума зависят от знака. Промежутки монотонности записаны с включённой точкой вершины.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x², составив таблицу значений для нескольких x

Для построения выбирают несколько значений x по обе стороны от нуля. Удобно взять симметричные числа, поскольку при x и −x получаются одинаковые значения y. Так можно проверить вычисления и расположить точки симметрично.

1. Возьмём x = −2, −1, 0, 1, 2 и вычислим y = 2x² для каждого значения.
2. Получим пары значений: при x = ±2 имеем y = 8, при x = ±1 имеем y = 2, при x = 0 имеем y = 0.
3. Отметим точки (−2; 8), (−1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8). Проведём через них плавную кривую, симметричную относительно оси y.

Коэффициент 2 положителен, поэтому ветви направлены вверх, а вершина находится в начале координат. Полученные точки согласуются с этим направлением и показывают, как график поднимается по обе стороны от вершины. Ответ: график — парабола y = 2x² с вершиной (0; 0) и ветвями вверх.

Сравнить графики y = x² и y = −3x²: определить направление ветвей и какая парабола уже

Сначала разберём знак коэффициентов: в первой функции он равен 1, во второй — −3. Это сразу определит направление ветвей. Затем сравним модули коэффициентов, потому что именно они отвечают за ширину парабол.

1. У функции y = x² коэффициент положительный, поэтому ветви направлены вверх.
2. У функции y = −3x² коэффициент отрицательный, поэтому ветви направлены вниз.
3. Сравним модули: |1| = 1, а |−3| = 3. Так как 3 больше 1, парабола y = −3x² уже параболы y = x².

Минус перед тройкой отражает параболу относительно оси x и задаёт направление ветвей вниз. Умножение на 3 увеличивает расстояние от графика до оси x при одинаковом ненулевом x. Ответ: первая парабола направлена вверх, вторая — вниз, уже график y = −3x².

График y = ax² проходит через точку (−2; 12). Найти a, построить график и определить множество значений и промежутки монотонности

Координаты заданной точки должны удовлетворять формуле функции: абсцисса подставляется вместо x, а ордината — вместо y. Так мы найдём неизвестный коэффициент. Его знак и величина затем позволят описать график и свойства без дополнительного построения.

1. Подставим x = −2 и y = 12: 12 = a · (−2)² = 4a. Разделив обе части на 4, получим a = 3.
2. Функция имеет вид y = 3x². Коэффициент положительный, значит, вершина — (0; 0), ось симметрии — x = 0, ветви направлены вверх; для построения можно взять точки (−1; 3), (0; 0), (1; 3).
3. При a > 0 квадратные значения неотрицательны, поэтому множество значений — y ≥ 0. Функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).

Проверка показывает, что найденная функция действительно проходит через заданную точку: 3 · (−2)² = 12. Поэтому значение коэффициента и дальнейшие выводы согласованы с условием. Ответ: a = 3, график y = 3x², множество значений y ≥ 0; функция убывает до нуля и возрастает после него.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при отрицательном a график перестаёт быть параболой. Такое мнение возникает, если воспринимать знак минус как изменение вида формулы, хотя он только отражает график относительно оси x. Проверка: подставьте несколько значений x — зависимость от квадрата сохраняется, а точки образуют параболу с ветвями вниз.

Ошибка: путать влияние знака a и его модуля. Иногда по большому модулю пытаются определить направление ветвей, хотя модуль отвечает за ширину, а знак — за направление. Проверка: отдельно запишите знак коэффициента, затем сравните его модуль с модулем другого коэффициента.

Ошибка: указывать область определения только при x ≥ 0. Её допускают, потому что квадрат неотрицателен, и переносят это свойство значений x на сам аргумент. Но возводить в квадрат можно и отрицательное число, поэтому подстановка −2 допустима так же, как подстановка 2. Проверка: выясните, запрещает ли формула какое-либо значение x; здесь запрета нет.

Ошибка: считать, что при x и −x функция принимает разные значения. Это случается, если забыть, что противоположные числа имеют одинаковые квадраты. Проверка: подставьте оба аргумента: a · x² и a · (−x)² совпадают, а соответствующие точки симметричны относительно оси y.

Связь с другими темами

Для работы с параболой нужно уметь возводить числа в квадрат, читать координаты точки и строить график по таблице значений. Здесь используются понятия области определения и множества значений, нулей функции, а также промежутков возрастания и убывания. Функция y = ax² служит простым примером квадратичной функции. Её свойства помогут позднее исследовать квадратичную функцию общего вида, решать квадратные уравнения и анализировать квадратичные выражения.

Что запомнить

• График функции y = ax² при a ≠ 0 — парабола с вершиной в начале координат.
• Область определения функции — все действительные числа.
• График симметричен относительно оси y, поскольку значения при x и −x совпадают.
• При a > 0 ветви направлены вверх, а множество значений — y ≥ 0.
• При a < 0 ветви направлены вниз, а множество значений — y ≤ 0.
• Чем больше |a|, тем уже парабола; чем меньше |a| при a ≠ 0, тем она шире.