Графики функций у = ах^2 + n и у = а(х - m)^2

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0; в этой теме рассматриваются её частные формы y = ax² + n и y = a(x − m)². Буквы n и m задают положение графика, а a влияет на его форму и направление ветвей. Знание этих форм помогает быстро строить графики, не преобразуя выражение каждый раз.

Парабола — график квадратичной функции. У неё есть вершина и две симметричные ветви, а коэффициент a определяет, раскрыта она вверх или вниз. Это позволяет по формуле заранее представить общий вид графика.

Вершина параболы — точка, от которой удобно отсчитывать её положение и относительно которой части графика симметричны. Для y = ax² + n это точка (0; n), а для y = a(x − m)² — точка (m; 0). Найдя вершину, легче построить график и определить его наибольшее или наименьшее значение.

Ось симметрии — вертикальная прямая, которая делит параболу на две зеркально одинаковые части. В первом виде функции это прямая x = 0, во втором — x = m. Ось помогает находить симметричные точки и проверять, правильно ли построен график.

Как это устроено

График y = ax² — парабола, потому что при замене x на −x значение функции не меняется: a(−x)² = ax². Поэтому точки с противоположными абсциссами имеют одинаковые ординаты и расположены симметрично относительно вертикальной оси. Если a положительно, значения растут при удалении от нуля и ветви направлены вверх; если a отрицательно, значения становятся меньше и ветви направлены вниз.

Коэффициент a умножает каждое значение x², поэтому он меняет вертикальный масштаб графика. При |a| > 1 ординаты по модулю увеличиваются быстрее, и ветви выглядят круче и уже. При 0 < |a| < 1 ординаты меньше, поэтому парабола становится шире; знак коэффициента отдельно отвечает за направление ветвей.

В функции y = ax² + n к каждому значению ax² прибавляется одно и то же число. Значит, все точки графика поднимаются на n единиц при n > 0 или опускаются на |n| единиц при n < 0. Горизонтальные координаты точек не меняются, поэтому форма и ось симметрии x = 0 остаются прежними.

В выражении (x − m)² квадрат обращается в ноль при x = m, а не при x = −m. Поэтому точка, которая была вершиной y = ax² при x = 0, оказывается при x = m: график сдвигается вправо, если m положительно, и влево, если отрицательно. Знак внутри скобок кажется обратным направлению сдвига именно потому, что его нужно приравнять к нулю.

Вершина задаёт крайнее значение функции, а направление ветвей показывает, минимум это или максимум. У y = ax² + n крайнее значение равно n, у y = a(x − m)² — нулю. При a > 0 множество значений соответственно y ≥ n или y ≥ 0, а при a < 0 — y ≤ n или y ≤ 0.

У обеих функций область определения — все действительные числа: в формуле нет ограничений на x. Найдя вершину и направление ветвей, можно без вычисления множества точек установить диапазон значений. Это особенно удобно, когда в задаче спрашивают экстремум или область значений.

Сравнение графиков функций y = ax² + n и y = a(x − m)²

Сначала найдите нужную строку по свойству, которое требуется определить. Затем проверьте знак a: он задаёт ветви и помогает выбрать правильную границу множества значений. При построении графика используйте вершину как начальную точку, а сдвиг — чтобы понять, где расположить параболу.

Разбор задач

1. График y = −2(x − 3)²

Условие. Для функции y = −2(x − 3)² определить вершину, ось симметрии, направление ветвей и построить график. Скобка показывает горизонтальный сдвиг, а коэффициент −2 позволяет определить направление и ширину. Удобно начать с вершины, а затем взять несколько симметричных точек.

1. Сравниваем формулу с y = a(x − m)²: здесь a = −2, m = 3. Поэтому вершина имеет координаты (3; 0), а ось симметрии задаётся уравнением x = 3.
2. Так как a < 0, ветви направлены вниз. Поскольку |a| = 2 > 1, парабола уже, чем y = x².
3. Для построения берём x = 2 и x = 4 — эти значения на одинаковом расстоянии от оси. В обоих случаях y = −2; ещё можно взять x = 1 и x = 5, тогда y = −8.
4. Отмечаем вершину и найденные точки, отражаем их относительно x = 3 и соединяем плавными симметричными ветвями.

Ответ. Вершина — (3; 0), ось симметрии — x = 3, ветви направлены вниз. Для построения достаточно отметить вершину и пары точек с одинаковыми расстояниями от оси.

2. График y = 0,5x² − 4 и положительные значения

Условие. Построить график функции y = 0,5x² − 4 и определить, при каких x функция положительна. Слагаемое −4 означает сдвиг вниз, а положительный коэффициент показывает, что парабола раскрыта вверх. Чтобы установить знак функции, сначала найдём места пересечения с осью x.

1. График y = 0,5x² сдвигаем вниз на 4 единицы. Вершина становится точкой (0; −4), ось симметрии остаётся x = 0, а ветви направлены вверх.
2. Находим нули: 0,5x² − 4 = 0, откуда x² = 8 и x = ±2√2. Эти точки — пересечения параболы с осью x.
3. Между нулями график расположен ниже оси x, поскольку вершина имеет отрицательную ординату и ветви направлены вверх. За пределами промежутка между нулями он выше оси.

Ответ. Для построения отметьте вершину (0; −4), ось симметрии x = 0 и точки пересечения с осью x: (−2√2; 0) и (2√2; 0). Функция положительна при x < −2√2 или x > 2√2.

3. Найти формулу и решить уравнение

Условие. Парабола y = a(x − m)² проходит через точку (4; 6), а абсцисса вершины равна 1. Нужно найти функцию и решить уравнение y = 0,5. Абсцисса вершины сразу определяет m, а известная точка позволит найти неизвестный коэффициент a.

1. У функции этого вида вершина имеет координаты (m; 0). По условию m = 1, значит, формула пока записывается как y = a(x − 1)².
2. Подставляем координаты точки (4; 6): 6 = a(4 − 1)² = 9a. Поэтому a = 6/9 = 2/3 и функция имеет вид y = ⅔(x − 1)².
3. Для решения уравнения y = 0,5 приравниваем формулу к 0,5: ⅔(x − 1)² = ½. Отсюда (x − 1)² = ¾, поэтому x − 1 = ±√3/2.
4. Получаем два значения x: 1 − √3/2 и 1 + √3/2. Два корня ожидаемы: горизонтальная прямая y = 0,5 пересекает параболу выше вершины с двух сторон.

Ответ. y = ⅔(x − 1)²; уравнение y = 0,5 имеет решения x = 1 − √3/2 и x = 1 + √3/2.

Типичные ошибки

В записи y = a(x − m)² иногда видят знак минус и делают вывод, что график сдвинут влево. Ошибка возникает, если ориентироваться только на знак в скобках, не проверяя, где квадрат равен нулю. Найдите вершину из условия x − m = 0: получится x = m, и направление сдвига станет очевидным.

Условие a ≠ 0 иногда забывают, принимая любую формулу с квадратом за параболу. Если a = 0, выражение ax² исчезает, и график функции y = ax² + n становится горизонтальной прямой, а не параболой. Проверьте, что коэффициент при квадрате действительно ненулевой.

Можно ошибочно решить, что прибавление n меняет ширину или направление ветвей. Это происходит, когда путают слагаемое n с множителем a: число n прибавляется ко всем ординатам, а не умножает их. Сравните вершины и значения при одинаковом x у графиков y = ax² и y = ax² + n — разность всегда будет равна n.

Множество значений иногда записывают неверно, не учитывая знак a или положение вершины. Например, при ветвях вниз значение в вершине является верхней, а не нижней границей. Для проверки сначала отметьте вершину, затем посмотрите, в какую сторону от неё идут ветви, и только после этого поставьте знак ≥ или ≤.

Связь с другими темами

Для работы с параболами нужны координатная плоскость, умение отмечать точки и знание графика y = ax². Также следует понимать, как графики перемещаются при вертикальном и горизонтальном сдвиге. Эти навыки затем пригодятся при изучении общей квадратичной функции, квадратных уравнений и неравенств: график помогает видеть корни, знак выражения и крайние значения.

Что запомнить

• При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• В функции y = ax² + n вершина имеет координаты (0; n).
• В функции y = a(x − m)² вершина имеет координаты (m; 0).
• График y = ax² + n получается вертикальным сдвигом графика y = ax².
• График y = a(x − m)² получается горизонтальным сдвигом графика y = ax².
• Ось симметрии проходит через вершину: x = 0 или x = m.
• Модуль коэффициента |a| определяет ширину параболы.

На графике y = x² и его сдвигах видно, что форма параболы сохраняется, а меняется положение вершины.