§ 9. Свойства и графики функции

Определения и обозначения

Число T называют периодом функции, если при допустимых x выполняется равенство f(x + T) = f(x); обычно T ≠ 0. Это значит, что значения функции повторяются через одинаковый шаг, а вместе с ними повторяется и график. Период помогает исследовать бесконечный график по одному участку, но область определения при этом должна позволять сравнивать x и x + T.

Функция называется чётной, если для каждого x из её области определения −x также принадлежит области определения и f(−x) = f(x). Значения при противоположных аргументах одинаковы, поэтому точки графика расположены попарно зеркально относительно оси Oy. Проверка чётности позволяет восстановить одну половину графика по другой.

Функция называется нечётной, если −x принадлежит её области определения и f(−x) = −f(x). При замене x на −x меняется знак значения функции, поэтому график симметричен относительно начала координат. Это свойство также упрощает построение: достаточно знать график с одной стороны от начала координат.

Нулём функции называют значение аргумента x, при котором f(x) = 0. На графике каждому нулю соответствует точка с координатами (x; 0), то есть точка пересечения графика с осью Ox. Нули нужны, чтобы решать уравнения f(x) = 0 и отмечать места смены знака функции.

Как это устроено

На единичной окружности углу x соответствует точка, координаты которой равны (cos x; sin x). Координаты любой точки этой окружности лежат от −1 до 1, поэтому значения синуса и косинуса принадлежат отрезку [−1; 1]; угол можно поворачивать на любое действительное число, значит, обе функции определены на всей числовой прямой. Синус обращается в нуль там, где точка лежит на горизонтальном диаметре: x = πk. Косинус равен нулю на вертикальном диаметре: x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Полный оборот возвращает точку в исходное положение, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x.

При переходе от угла x к углу −x точка окружности отражается относительно горизонтальной оси. Её абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак, откуда cos(−x) = cos x и sin(−x) = −sin x. Поэтому косинус — чётная функция и его график симметричен относительно Oy, а синус — нечётная и его график симметричен относительно начала координат. Эти равенства помогают переносить известные точки графика на противоположную сторону.

Поскольку sin x и cos x повторяют значения через 2π, для их построения достаточно определить поведение на любом промежутке длины 2π и затем сдвигать этот участок вправо и влево на 2π. Например, для синуса удобно отметить точки при x = 0, π/2, π, 3π/2 и 2π: значения последовательно равны 0, 1, 0, −1 и 0. Между характерными точками график соединяют плавно, учитывая его симметрию. Повторение каждого участка даёт график на всей числовой прямой.

Тангенс определяется отношением tg x = sin x / cos x, а котангенс — отношением ctg x = cos x / sin x. Дробь не имеет смысла, если её знаменатель равен нулю: поэтому из области определения тангенса исключены x = π/2 + πk, а котангенса — x = πk. При приближении к исключённым точкам значения дробей неограниченно возрастают или убывают; график приближается к вертикальным асимптотам — прямым, к которым ветви подходят, но не пересекают их в соответствующей точке.

При сдвиге угла на π и синус, и косинус меняют знак: sin(x + π) = −sin x, cos(x + π) = −cos x. В отношениях для тангенса и котангенса два минуса сокращаются, так что tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Следовательно, их ветви повторяются через π, то есть наименьший положительный период равен π, тогда как у синуса и косинуса он равен 2π. На интервале между соседними асимптотами можно построить одну ветвь тангенса или котангенса, а затем повторить её.

Основные свойства тригонометрических функций

В таблице приведены свойства, которые полезно проверять перед построением графика или решением уравнения. В строке возрастания и убывания указаны промежутки, повторяющиеся при целых k; квадратные скобки включают концы, круглые — не включают. Для тангенса и котангенса промежутки не содержат точек разрыва.

Здесь R обозначает множество всех действительных чисел, а k — любое целое число. Сначала выбери строку, подходящую к вопросу задачи, затем подставь нужные целые значения k, чтобы найти точки на заданном промежутке. Например, строка нулей сразу даёт все решения уравнения sin x = 0.

Разбор задач

Задача 1. Свойства синуса

Условие: для функции y = sin x укажем область определения, множество значений, период, чётность и нули. Важно отделять свойства, связанные с координатами точки на окружности, от свойств, следующих из симметрии и повторения оборотов. После проверки запишем нули не только на одном обороте, а для всех x.

1. Аргумент x может быть любым углом, поэтому область определения — R.
2. Синус — ордината точки единичной окружности, следовательно, −1 ≤ sin x ≤ 1; множество значений равно [−1; 1].
3. Поворот на 2π возвращает точку на окружности в исходное положение, значит, период равен 2π, а наименьший положительный период — 2π.
4. Отражение угла меняет знак ординаты: sin(−x) = −sin x, поэтому функция нечётная.
5. Ордината равна нулю на горизонтальном диаметре, то есть при x = πk, k ∈ Z.

Ответ: D(sin x) = R, E(sin x) = [−1; 1], наименьший положительный период 2π, функция нечётная, нули x = πk, k ∈ Z. Запись с k охватывает все полные обороты в обе стороны. Например, при k = 0 получаем нуль x = 0, а при k = 1 — x = π.

Задача 2. График косинуса

Условие: построить y = cos x на отрезке [−2π; 2π], используя свойства функции. Поскольку длина отрезка равна 4π, на нём помещаются два периода. Характерные значения проще всего получить по координате точки на единичной окружности, а затем использовать чётность и период.

1. На отрезке [0; 2π] отметим точки (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0), (2π; 1).
2. Соединим их плавной волнообразной линией: между максимумом и минимумом косинус убывает, затем возрастает.
3. Так как cos(−x) = cos x, отразим построенную часть графика на [−2π; 0] относительно оси Oy.
4. Проверим повторение через 2π: значения на концах отрезка равны 1, как и должно быть для соседних соответствующих точек периодического графика.

Ответ: график проходит через точки (−2π; 1), (−3π/2; 0), (−π; −1), (−π/2; 0), (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0), (2π; 1). Точки соединяются плавной кривой без углов и разрывов. На всём отрезке повторяется одна и та же форма с шагом 2π.

Задача 3. График тангенса

Условие: исследовать y = tg x — определить область определения, нули и асимптоты, затем построить график на [−2π; 2π]. Тангенс — дробь sin x / cos x, поэтому сначала найдём, где знаменатель равен нулю. После этого найдём нули и используем период π для построения всех ветвей на отрезке.

1. Из cos x = 0 получаем x = π/2 + πk, k ∈ Z; эти значения исключаются из области определения.
2. Дробь равна нулю, когда её числитель sin x равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому нули: x = πk, k ∈ Z.
3. При x = π/2 + πk знаменатель обращается в нуль, и ветви приближаются к вертикальным асимптотам x = π/2 + πk.
4. Между соседними асимптотами тангенс возрастает от −∞ до +∞ и проходит через точку (πk; 0). Одну такую ветвь повторяем с шагом π.
5. На заданном отрезке асимптоты проходят через x = −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2; нули — через x = −2π, −π, 0, π, 2π.

Ответ: D(tg x) = R без значений π/2 + πk; нули x = πk; вертикальные асимптоты x = π/2 + πk. На [−2π; 2π] нужно построить четыре ветви между соседними асимптотами и обозначить нули на границах и внутри отрезка. Каждую ветвь рисуют отдельно, не соединяя через асимптоту.

Типичные ошибки

Период тангенса иногда записывают равным 2π, потому что именно такой период есть у синуса и косинуса. Но у дроби tg x = sin x / cos x при сдвиге на π одновременно меняются знаки числителя и знаменателя, и их отношение не меняется. Проверка: подставь x + π и получи tg(x + π) = tg x, значит, наименьший положительный период равен π.

В область определения тангенса включают x = π/2 + πk, а котангенса — x = πk, забывая проверить знаменатель. Ошибка возникает, если смотреть только на график или формулу и не применять правило деления на нуль. Проверяй tg x = sin x / cos x и ctg x = cos x / sin x: нули знаменателя нужно исключить.

Симметрию синуса и косинуса могут перепутать, приписав синусу симметрию относительно Oy, а косинусу — относительно начала координат. Часто это происходит из-за того, что оба графика кажутся похожими волнами. Подставь −x: sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x; первое равенство означает нечётность, второе — чётность.

Нули и асимптоты иногда указывают только на одном видимом участке графика, без целого параметра k. Причина — попытка перечислить отдельные точки вместо общего решения, хотя функция повторяется бесконечно. Проверяй себя подстановкой нескольких целых значений k и убедись, что запись охватывает точки и справа, и слева от нуля.

Связь с другими темами

Для работы с тригонометрическими функциями нужны единичная окружность, радианная мера угла и определения sin x, cos x, tg x и ctg x. Если представлять угол только в градусах, легко ошибиться в записи периодов: здесь удобнее использовать радианы. Свойства и графики позволяют решать тригонометрические уравнения и неравенства, находя нужные значения по формулам или пересечениям графиков. Периодичность и симметрия пригодятся также при исследовании функций и построении преобразованных графиков.

Что запомнить

• Область определения тангенса: x ≠ π/2 + πk, где k — целое число.
• Область определения котангенса: x ≠ πk, где k — целое число.
• Множество значений синуса и косинуса — от −1 до 1 включительно.
• Синус и косинус имеют период 2π; тангенс и котангенс — период π.
• Синус и тангенс — нечётные функции; косинус — чётная функция.
• Нули функции на графике соответствуют точкам пересечения с осью Ox.