"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Прогрессия — последовательность чисел, заданная постоянным правилом перехода от одного члена к следующему. В арифметической прогрессии каждый раз прибавляют одно и то же число, а в геометрической — умножают на один и тот же множитель. Эти модели помогают находить отдельные члены и суммы без перебора. Геометрическая прогрессия особенно важна для расчёта вкладов и других процессов со сложными процентами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же числа. Это число называют разностью прогрессии и обозначают d. Формула n-го члена имеет вид aₙ = a₁ + (n − 1)d, поэтому по первому члену, разности и номеру можно сразу найти нужное число.
Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают q. Формула n-го члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹, она описывает последовательное увеличение или уменьшение величин.
Формула n-го члена позволяет найти любой член прогрессии по его номеру и начальным данным. В арифметической прогрессии используют aₙ = a₁ + (n − 1)d, а в геометрической — bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Такой способ заменяет выписывание всех предыдущих членов.
Сложные проценты — способ начисления процентов, при котором в каждом периоде проценты считают не только от первоначальной суммы, но и от уже начисленного дохода. Если ставка за период равна r, сумма каждый раз умножается на 1 + r. Поэтому рост вклада описывается геометрической прогрессией.
Чтобы распознать арифметическую прогрессию, вычисляют разности соседних членов: из следующего вычитают предыдущий. Если результат каждый раз один и тот же, правило последовательности имеет вид «прибавить d». Для геометрической прогрессии проверяют отношения соседних членов, то есть делят следующий член на предыдущий; постоянный результат означает общий множитель q.
Формулы n-го члена прямо следуют из определения. От первого члена до n-го в арифметической прогрессии переходят n − 1 раз, поэтому d прибавляют именно столько раз. В геометрической прогрессии на каждом таком переходе умножают на q, и получается множитель qⁿ⁻¹.
Сумму первых n членов арифметической прогрессии удобно находить попарно. Первый и последний члены дают ту же сумму, что второй и предпоследний, потому что при движении к середине одна часть увеличивается на d, а другая уменьшается на d. Поэтому Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Для геометрической прогрессии записывают Sₙ и qSₙ, а затем вычитают: одинаковые средние слагаемые сокращаются, и при q ≠ 1 получается Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
У соседних членов прогрессии есть удобные свойства. В арифметической прогрессии средний член равен полусумме соседних: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2, поскольку одинаковая разность компенсируется. В геометрической прогрессии bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁: оба соседних множителя содержат степени q, симметричные относительно среднего.
При сложных процентах сумма после каждого периода получается из предыдущей умножением на один и тот же коэффициент. Если начальная сумма равна A₀, ставка за период — r, а периодов n, то Aₙ = A₀(1 + r)ⁿ. Ставку нужно записывать именно за выбранный период: например, при ежегодной капитализации берут годовую ставку и число лет, а при ежемесячной — месячную ставку и число месяцев.
| Характеристика | Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
|---|---|---|
| Правило перехода к следующему члену | Прибавить постоянное число d | Умножить на постоянное число q |
| Постоянная разность соседних членов | aₙ₊₁ − aₙ = d | Разности обычно не постоянны |
| Обозначение постоянного числа | Разность d | Знаменатель q |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ |
| Формула суммы первых n членов | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1 |
| Свойство среднего члена | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 | bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁ |
Сначала определите, какое правило связывает соседние члены, а затем выберите соответствующую колонку. Для поиска отдельного члена используйте формулу n-го члена, а для нескольких первых членов — формулу суммы. В строке о сумме геометрической прогрессии не забывайте отдельно проверить случай q = 1.
Найдём десятый член арифметической прогрессии, если a₁ = 4 и d = 3. Известны первый член, разность и номер, поэтому перебирать все члены не требуется. Достаточно применить формулу n-го члена.
Ответ: 31.
Найдём сумму первых шести членов геометрической прогрессии при b₁ = 2 и q = 3. Знаменатель не равен единице, значит, можно использовать стандартную формулу суммы. Важно возвести q в степень, равную числу членов.
Ответ: 728.
На счёт внесли 50 000 рублей под 8% годовых с ежегодной капитализацией. За год сумма умножается на 1 + 0,08 = 1,08, а каждый следующий доход начисляется уже на увеличенный вклад. За три года нужно применить этот множитель три раза.
Ответ: через три года на счёте будет 62 985 рублей 60 копеек.
Разность арифметической прогрессии часто путают со знаменателем геометрической. Разность находят вычитанием соседних членов, а знаменатель — их делением, поэтому способы проверки различны. Проверьте себя, выполнив действие на двух-трёх соседних парах.
В формуле n-го члена иногда пишут n вместо n − 1. Ошибка возникает потому, что номер члена принимают за число переходов, хотя от первого члена до него переходов на один меньше. Для проверки подставьте n = 1: формула должна вернуть первый член.
Формулу суммы геометрической прогрессии нельзя механически применять при q = 1. В этом случае знаменатель формулы обращается в ноль, а все члены просто равны b₁. Значит, нужно использовать отдельный результат Sₙ = nb₁.
При сложных процентах иногда считают каждый раз один и тот же процент от начального вклада. Так получают модель простых процентов, потому что начисленный доход не участвует в следующем расчёте. Проверка проста: после первого периода база должна увеличиться и стать суммой для следующего начисления.
Для прогрессий нужны навыки действий с дробями, степенями и процентами. Формулы также требуют аккуратной работы с буквенными выражениями и простыми уравнениями. Если эти действия выполняются уверенно, вычисления по прогрессиям становятся короче и понятнее.
Прогрессии моделируют регулярное изменение величин: арифметическая описывает равные прибавления или убавления, а геометрическая — постоянное умножение. Сложные проценты применяются при расчёте вкладов, кредитов и роста капитала. Та же идея встречается в задачах о распространении, амортизации и последовательном изменении размеров.
Как быстро определить, является ли последовательность арифметической прогрессией?
Вычтите каждый предыдущий член из следующего. Если все получившиеся разности одинаковы, последовательность является арифметической прогрессией.
Чем разность арифметической прогрессии отличается от знаменателя геометрической?
Разность d находят вычитанием соседних членов: aₙ₊₁ − aₙ. Знаменатель q находят делением: bₙ₊₁ : bₙ, если предыдущий член не равен нулю.
Почему в формуле n-го члена появляется n − 1?
Чтобы перейти от первого члена к n-му, нужно сделать n − 1 переходов. Поэтому разность прибавляют или на знаменатель умножают именно n − 1 раз.
Когда можно применять формулу суммы геометрической прогрессии?
Формулу Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) применяют при q ≠ 1. Если q = 1, все члены равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁.
Чем сложные проценты отличаются от простых?
При простых процентах начисление каждый раз идёт только на первоначальную сумму. При сложных процентах проценты добавляются к вкладу, и в следующем периоде доход начисляется уже на увеличенную сумму.
§ 10. Прогрессии и сложные проценты
