"Алгебра", Алимов Ш.А.
Свойства арифметических действий помогают менять порядок слагаемых и множителей, группировать числа и быстрее вычислять выражения. При сложении и умножении такие преобразования не меняют результат, если выполнены по правилам. Умножение также можно распределять по слагаемым в скобках или, наоборот, выносить общий множитель. Эти приёмы пригодятся при устных вычислениях, упрощении буквенных выражений и решении уравнений. При вычитании и делении свободно менять порядок и группировку нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительное свойство сложения означает, что при перестановке слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a. Например, 3 + 8 = 8 + 3 = 11. Это свойство нужно, чтобы расположить числа в удобном порядке и быстрее находить сумму.
Сочетательное свойство сложения позволяет по-разному объединять слагаемые: (a + b) + c = a + (b + c). Например, сумму 6 + 4 + 9 можно сначала посчитать как 6 + 4, потому что получится 10. Так легче выполнять вычисления в уме, не меняя самих слагаемых.
Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют переставлять множители и по-разному ставить скобки: ab = ba, (ab)c = a(bc). Например, в произведении 2 · 5 · 7 удобно сначала перемножить 2 и 5. Эти свойства помогают выбирать быстрый путь вычисления произведения.
Распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так: a(b + c) = ab + ac. Чтобы умножить сумму на число, умножают на это число каждое слагаемое, а затем складывают результаты. Это правило нужно для раскрытия скобок, а в обратную сторону оно позволяет вынести общий множитель.
Если к нескольким предметам добавить ещё несколько, общее количество не зависит от того, в каком порядке считать группы. Поэтому 4 + 9 и 9 + 4 дают одно и то же число: меняется порядок слагаемых, но не количество предметов. Так становится понятен смысл переместительного свойства сложения. Аналогично при умножении 3 · 5 и 5 · 3 обозначают число предметов в прямоугольном расположении с переставленными сторонами, а результат остаётся 15.
Сочетательное свойство связано с тем, что сначала можно подсчитать одну группу, а затем присоединить к ней следующую. Например, в сумме 18 + 2 + 35 удобно сложить 18 и 2, а не начинать с 2 и 35. При умножении можно сначала перемножить те множители, которые дают простой результат: в 2 · 5 · 13 сначала удобно получить 10. Скобки показывают выбранную группировку, но при сложении и умножении она не меняет итог.
Распределительное свойство можно увидеть, если представить 4(6 + 2) как четыре одинаковые группы, в каждой из которых 6 предметов и ещё 2. Всего это 4 · 6 предметов одного вида и 4 · 2 другого, поэтому 4(6 + 2) = 4 · 6 + 4 · 2. Обратное действие тоже полезно: в выражении 4 · 6 + 4 · 2 число 4 повторяется, значит, его можно вынести за скобки и получить 4(6 + 2). Так длинное выражение иногда превращается в более короткое.
Свойства помогают выбирать удобный порядок действий, но каждое преобразование должно сохранять равенство. Например, в сумме можно сначала найти пару, которая даёт круглое число, а в произведении — пару с простым произведением. Скобки меняют группировку, а перестановка меняет порядок чисел; для сложения и умножения оба приёма разрешены. Нейтральные элементы тоже помогают упрощать запись: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют число.
С вычитанием и делением нужно обращаться иначе, потому что порядок чисел влияет на результат. Например, 10 − 3 = 7, а 3 − 10 = −7; при делении 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. Нельзя и без проверки менять группировку: (24 : 6) : 2 = 2, а 24 : (6 : 2) = 8. Поэтому перед перестановкой или переносом скобок проверь, что речь идёт именно о сложении или умножении.
| Свойство | Сложение | Умножение |
|---|---|---|
| Переместительное: формула и пример | a + b = b + a; 3 + 8 = 8 + 3 | ab = ba; 3 · 5 = 5 · 3 |
| Сочетательное: формула и пример | (a + b) + c = a + (b + c); (2 + 8) + 5 = 2 + (8 + 5) | (ab)c = a(bc); (2 · 5) · 3 = 2 · (5 · 3) |
| Нейтральный элемент: формула и пример | a + 0 = a; 7 + 0 = 7 | a · 1 = a; 7 · 1 = 7 |
| Распределительное относительно сложения: формула и пример | — | a(b + c) = ab + ac; 2(3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4 |
Сначала найдите в таблице нужное действие, затем выберите подходящую формулу. Пример показывает, как правило выглядит на конкретных числах. Черта в столбце сложения означает, что распределительное свойство относится к умножению относительно сложения, а не к отдельному правилу сложения.
В каждой задаче полезно сначала заметить числа или слагаемые, которые удобно объединить. Затем нужно применить подходящее свойство и проверить вычисления. Запись со скобками помогает увидеть, какие действия выполняются первыми.
Ответ: 146. Сначала мы сложили числа, дающие 100, поэтому вычисление оказалось проще. Если считать по порядку, результат будет тем же, но промежуточные действия менее удобны.
Ответ: 1700. При таком порядке не приходится сначала вычислять 25 · 17. Поиск множителей, дающих круглое число, часто упрощает устные вычисления.
Ответ: 20x + 40; при x = 2 значение выражения равно 80.
Ошибка: считать, что переместительное свойство действует при вычитании, и записывать a − b = b − a. Так делают, перенося правило сложения на похожую запись; проверить себя можно на числах, например 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5. При вычитании перестановка меняет результат.
Ошибка: менять местами делимое и делитель или произвольно переставлять скобки при делении. Деление не обладает переместительным и сочетательным свойствами: например, 12 : 3 = 4, но 3 : 12 = ¼. Чтобы проверить преобразование, посчитайте исходное выражение и новое отдельно; если ответы различаются, равенство нарушено.
Ошибка: при раскрытии скобок умножить внешний множитель только на первое слагаемое. Например, неверно превращать 3(a + 2) в 3a + 2: второй член суммы тоже умножается на 3. Причина обычно в том, что взгляд цепляется за первый член; проверяйте запись по формуле a(b + c) = ab + ac и отмечайте умножение каждого слагаемого.
Ошибка: заменять (a + b)(c + d) выражением ac + bd. Такое сокращение забывает произведения между разными слагаемыми; в общем случае при раскрытии понадобились бы все четыре произведения: ac + ad + bc + bd. Проверить себя можно на числах: (1 + 2)(3 + 4) = 21, а 1 · 3 + 2 · 4 = 11. Значения не совпали, значит, предложенное правило неверно.
Для применения свойств нужно уверенно выполнять действия с натуральными, целыми и рациональными числами: именно такие числа встречаются в слагаемых и множителях. Порядок действий и правила работы со скобками помогают правильно записывать преобразования и не менять значение выражения. Позже те же свойства используются при упрощении буквенных выражений, раскрытии скобок и решении уравнений. Например, выражение с переменной можно упростить до подстановки её значения.
Можно ли менять местами числа при вычитании?
Обычно нельзя: например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5. При перестановке меняется результат, поэтому переместительное свойство к вычитанию не применяют.
Зачем нужно сочетательное свойство, если порядок вычислений и так задан?
Оно позволяет иначе расставить скобки в сумме или произведении, не меняя порядок чисел и результата. Так можно сначала выполнить более удобные вычисления, например объединить числа, дающие круглое число.
Как понять, когда удобно раскрывать скобки, а когда выносить общий множитель?
Раскрывайте скобки, если после умножения слагаемых получится выражение, которое проще упростить или вычислить. Выносите общий множитель, если все слагаемые делятся на одно и то же число или содержат одинаковый множитель.
Почему при раскрытии скобок нужно умножать на каждое слагаемое?
Сумма в скобках состоит из нескольких частей, и множитель действует на всю эту сумму. Поэтому по правилу a(b + c) = ab + ac он умножается и на b, и на c.
Какие числа можно объединять в удобные группы при вычислениях?
При сложении и умножении можно объединять числа в любом удобном порядке, сохраняя их порядок или переставляя их. Выбирайте группы, в которых легко получить круглое число, единицу или другой простой результат.
§ 4. Свойства арифметических действий
